Proste p-wektory

[Wasilewski]

Niech \(\displaystyle{ v,w \in \bigwedge^{p}(V)}\) będą prostymi p-wektorami (\(\displaystyle{ \dim V = n \ge p}\)). Pokazać, że jeśli każdy element podprzestrzeni \(\displaystyle{ lin(v,w)}\) jest prostym p-wektorem, to
\(\displaystyle{ \dim(Ann(v) \cap Ann(w)) \ge p-1}\).
Jakby się komuś nudziło po sesji, to może sobie chwilę pomyśleć.

[Kartezjusz]

czym jest Ann?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ Ann(v)}\) to jądro odwzorowania \(\displaystyle{ V \ni x \mapsto x \wedge v \in \bigwedge^{p+1}V}\).

[Kartezjusz]

Co oznacza \(\displaystyle{ V \ni x \mapsto x \wedge v \in \bigwedge^{p+1}V}\)?

[Wasilewski]

To, że mamy zadane przekształcenie z \(\displaystyle{ V}\) do \(\displaystyle{ \bigwedge^{p+1}V}\), które przeprowadza \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ x\wedge v}\) (\(\displaystyle{ v}\) to jakiś element \(\displaystyle{ \bigwedge^{p}V}\)). Innymi słowy:
\(\displaystyle{ Ann(v) = \{x \in V: x \wedge v = 0\}}\).

[Kartezjusz]

Znaczy się \(\displaystyle{ \bigwedge^{p+1}V}\)

[Wasilewski]

Mógłbyś wyrażać się konkretniej?

[Kartezjusz]

Co rozumie się pod tym symbolem?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \bigwedge^{p} V}\), to p-ta potęga zewnętrzna przestrzeni V, a więc podprzestrzeń liniowa tensorów antysymetrycznych w przestrzeni \(\displaystyle{ V^{\otimes p}}\).

[max]

Oznaczmy \(\displaystyle{ v = v_{1}\wedge\ldots \wedge v_{p}, \ w = w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{p}}\)
Bez straty ogólności \(\displaystyle{ v,w\neq 0}\), tzn układy \(\displaystyle{ (v_{i})_{i}, (w_{i})_{i}}\) są liniowo niezależne.
Przyjmijmy \(\displaystyle{ X = \text{lin}(v_{1},\ldots, v_{p}), \ Y = \text{lin}(w_{1},\ldots, w_{p})}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \text{Ann}(v) = X, \ \text{Ann}(w) = Y}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \dim(X\cap Y) = 2p - \dim (X + Y)}\), to równoważnie mamy do wykazania \(\displaystyle{ \dim (X+Y) \le p+1}\).

\(\displaystyle{ \bigwedge^{p-1}V^{*}}\) działa na \(\displaystyle{ \bigwedge^{p}V}\) poprzez:
\(\displaystyle{ f_{1}\wedge \ldots\wedge f_{p-1}(u) = f_{1}(\ldots (f_{p-1}(u)))}\)
gdzie
\(\displaystyle{ f_{i}(u_{1}\wedge u_{2}) = f_{i}(u_{1})\wedge u_{2} + (-1)^{p-1}u_{1}\wedge f_{i}(u_{2})}\) dla \(\displaystyle{ u_{1}\in \bigwedge^{p-1}V, \ u_{2}\in V, \ f_{i}\in V^{*}}\)
(ta ostatnia definicja indukcyjnie po \(\displaystyle{ p}\)).

Nietrudno pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest wektorem prostym, to \(\displaystyle{ f(u)\wedge u = 0}\) dla \(\displaystyle{ f\in \bigwedge^{p-1}V^{*}}\) (zachodzi też implikacja odwrotna, ale ona nam nie będzie potrzebna).

Wracając do naszego problemu, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \dim(X+Y) \ge p+1.}\)
Wtedy bez straty ogólności możemy przyjąć, że wektory \(\displaystyle{ v_{1},w_{1}\ldots, w_{p}}\) są liniowo niezależne.
Po dopełnieniu układu \(\displaystyle{ v_{1},\ldots, v_{p}}\) do bazy \(\displaystyle{ V}\) możemy zdefiniować \(\displaystyle{ v_{i}^{*}\in V^{*}}\).
Niech \(\displaystyle{ f = v_{2}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{p}^{*}}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ f(v+w)\wedge (v+w) = f(v)\wedge v = f(w)\wedge w = 0}\) (bo \(\displaystyle{ v + w,v,w}\) są wektorami prostymi).
Stąd:
\(\displaystyle{ 0 = f(v)\wedge w + f(w) \wedge v = (-1)^{p(p+1)/2}v_{1}\wedge w + f(w)\wedge v}\).
Ale równość ta implikuje \(\displaystyle{ Y \subset \text{lin}(v_{1},w_{1},\ldots, w_{p}) = \text{lin}(f(w),v_{1},\ldots, v_{p})\supset X}\).
Ponieważ przestrzeń pojawiająca się w tej ostatniej równości ma wymiar \(\displaystyle{ p+1}\), to kończy to dowód.

[Wasilewski]

No cóż, bardzo ładnie. Mam tylko jedno pytanie co rozumiesz przez \(\displaystyle{ w\wedge \alpha}\), gdy w jest p-wektorem, a \(\displaystyle{ \alpha}\) skalarem? Zakładam, że zwykłe mnożenie przez skalar, ale wolę mieć pewność.
Można też tak zrobić:
Wybieramy bazę \(\displaystyle{ Ann(v)\cap Ann(w)}\) i dopełniamy ją z jednej strony do bazy \(\displaystyle{ Ann(v)}\), a z drugiej strony do bazy \(\displaystyle{ Ann(w)}\), otrzymując wektory (liniowo niezależne):
\(\displaystyle{ e_{1}, \ldots e_{k}, e_{k+1}^{v}, \ldots , e_{p}^{v}, e_{k+1}^{w}, \ldots, e_{p}^{w}}\).
Możemy tak przeskalować te wektory, by zachodziły równości:
\(\displaystyle{ v = e_{1} \wedge e_{2} \ldots \wedge e_{k} \wedge e_{k+1}^{v} \ldots \wedge e_{p}^{v} \\
w = e_{1} \wedge e_{2} \ldots \wedge e_{k} \wedge e_{k+1}^{w} \ldots \wedge e_{p}^{w}}\).
Wobec tego:
\(\displaystyle{ v+w = e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{k} \wedge(e_{k+1}^{v} \ldots \wedge e_{p}^{v} + e_{k+1}^{w}\ldots \wedge e_{p}^{w})}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p-k\ge 2}\), wówczas w nawiasie mamy p-k-wektor o zerowym anihilatorze (łatwo sprawdzić, że jeśli wektory \(\displaystyle{ e_{1},\ldots, e_{2p}, \quad p\ge 2}\) są liniowo niezależne, to anihilator p-wektora \(\displaystyle{ e_{1}\wedge e_{2} \ldots \wedge e_{p} + e_{p+1}\ldots \wedge e_{2p}}\) jest zerowy). Wobec tego \(\displaystyle{ dim(Ann(v+w))=k<p}\), co stoi w sprzeczności z tym, że jest prosty. W zasadzie to do pokazania jest to, co napisałem w nawiasie, ale to nie powinno nastręczać trudności.

[max]

Tak, mnożenie zewnętrzne przez skalar to dla mnie to samo co mnożenie skalarne.
Jeszcze powinienem poprawić nie do końca zręczne sformułowanie, że \(\displaystyle{ \bigwedge^{p-1}V^{*}}\) działa na \(\displaystyle{ \bigwedge^{p}V}\), bowiem \(\displaystyle{ f(u)}\) jest wektorem a nie p-wektorem (bardziej na miejscu byłoby stwierdzenie, że mamy działanie na \(\displaystyle{ \bigoplus_{p\ge 0}\bigwedge^{p}V}\))

Twoje rozwiązanie bardziej mi się podoba, przy czym można je skończyć też tak:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in \text{Ann}(v+w)\setminus \text{lin}(e_{1},\ldots, e_{k})}\) to \(\displaystyle{ \text{lin}(x,e_{1},\ldots, e_{k},e_{k+1}^{v},\ldots, e_{p}^{v}) = \text{lin}(x,e_{1},\ldots, e_{k},e_{k+1}^{w},\ldots, e_{p}^{w})}\) zatem \(\displaystyle{ p-k \le 1}\) i tak jak wcześniej sprzeczność.
(to co u Ciebie jest w nawiasie też wynika z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{l} = y_{1}\wedge \ldots \wedge y_{l}\neq 0, \ x_{i},y_{i}\in V}\), to \(\displaystyle{ \text{lin}(x_{1},\ldots, x_{l}) = \text{lin}(y_{1},\ldots, y_{l})}\)).

[Wasilewski]

Ano można i tak skończyć. Szkoda, że na egzaminie tego rozwiązania nie napisałem.