polozenie plaszczyzn

okon · Post autor: **okon** » 20 cze 2010, o 19:46

\(\displaystyle{ H_{1}: 3x-my+3z=3}\)
\(\displaystyle{ H_{2}: mx-y-3z=0}\)
\(\displaystyle{ h_{3}: x+y+z=1}\)

mam zbadać wzajemne polozenie trzech plaszczyzn, w zaleznosci od parametru m. W przypadku gdy sie przecinaja wzdłuz prostej, znalezc jej rownania parametryczne.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2010, o 20:05

Wystarczy w tym celu rozpatrzyć (przynajmniej na początek) ilość rozwiązań (i ilość parametrów w rozwiązaniach) układu złożonego z równań tych płaszczyzn w zależności od wartości \(\displaystyle{ m}\) - do tego przyda się twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Można to też zrobić bez tego twierdzenia, sprawdzając po kolei wszystkie możliwości wzajemnego położenia (ale to dłużej potrwa).

Pozdrawiam.

okon · Post autor: **okon** » 20 cze 2010, o 20:46

czyli badac wektory po kolei?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2010, o 20:54

Nie rozumiem co znaczy badać po kolei. Trzeba rozpatrzyć wszystkie możliwe wzajemne położenia 3 płaszczyzn w przestrzeni (jest tego trochę).

Sytuacja 1) wszystkie 3 są równoległe (są tu podprzypadki)
Sytuacja 2) dwie są do siebie równoległe, trzecia nie (tu też są podprzypadki)
Sytuacja 3) nie ma żadnej równoległości

Pozdrawiam.

okon · Post autor: **okon** » 20 cze 2010, o 21:01

no to jak zapisać np: pierwsza sytuacje?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2010, o 21:08

Sytuacja 1 jest możliwa, gdy wektory normalne wszystkich płaszczyzn są do siebie równoległe. No to sprawdzaj, czy istnieje taka wartość parametru, aby to było możliwe. Jeśli tak, to ustal, jak dokładnie te płaszczyzny względem siebie leżą (czy któreś się pokrywają itede itepe).

Pozdrawiam.