\(\displaystyle{ x=1+mt}\)
\(\displaystyle{ y=1+t}\)
\(\displaystyle{ z= (m-2)^2 + mt}\)
a druga prosta to:
\(\displaystyle{ mx-y=0}\)
\(\displaystyle{ x=z}\)
I polecenie, mam zbadać wzajemnie położenie dwóch prostych w zależności od parametru m.
położenie 2 prostych
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
położenie 2 prostych
Najłatwiej zacząć od sprawdzenia, kiedy proste mają co najmniej jeden punkt wspólny. Żeby dla jakiegoś m pewien punkt spełniał równania obu prostych, musi zachodzić w szczególności:
\(\displaystyle{ x=z \wedge x=1+mt \wedge z=(m-2)^{2}+mt}\)
\(\displaystyle{ 1+mt=(m-2)^{2}+mt}\)
\(\displaystyle{ 1=(m-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=3 \vee m=1}\)
Dla \(\displaystyle{ m=3}\) mamy następujące proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+3t \\ y=1+t \\ z=1+3t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x=y \\ x=z \end{cases}}\)
Musi zatem zachodzić \(\displaystyle{ 3(1+3t)=1+t}\)
\(\displaystyle{ 3+9t=1+t}\)
\(\displaystyle{ 8t=-2}\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{1}{4}}\)
Otrzymane t jednoznacznie wyznacza punkt przecięcia, zatem dla \(\displaystyle{ m=3}\) proste rzeczywiście się przecinają.
Dla \(\displaystyle{ m=1}\) mamy następujące proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+t \\ y=1+t \\ z=1+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=y \\ x=z \end{cases}}\)
Widzimy, że te dwie proste są równe, czyli pokrywają się.
Równanie drugiej prostej możemy przedstawić w postaci ogólnej jako \(\displaystyle{ x=\frac{y}{m}=z}\) i widzimy, ze wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ [1,m,1]}\). Wektorem kierunkowym pierwszej prostej jest \(\displaystyle{ [m,1,m]}\). Sprawdzamy teraz, kiedy te proste będą równoległe - wystarczy sprawdzić, dla jakiego m odpowiednie współrzędne tych dwóch wektorów będą proprcjonalne, czyli:
\(\displaystyle{ [m,1,m]=k[1,m,1]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m=k \\ 1=km \\m=k \end{cases}}\)
Ten układ ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ k=m=1}\) oraz \(\displaystyle{ k=m=-1}\). pierwsze z nich odpowiada przypadkowi, kiedy proste się pokrywają (przez przypadek już to odkryliśmy), w drugim przypadku (\(\displaystyle{ m=-1}\)) proste są równoległe.
Ostatecznie, podane proste:
pokrywają się dla \(\displaystyle{ m=1}\)
są równoległe dla \(\displaystyle{ m=-1}\)
mają jeden punkt wspólny dla \(\displaystyle{ m=3}\)
są zwichrowane dla \(\displaystyle{ m\in \Re \backslash \{-1,1,3\}}\)
\(\displaystyle{ x=z \wedge x=1+mt \wedge z=(m-2)^{2}+mt}\)
\(\displaystyle{ 1+mt=(m-2)^{2}+mt}\)
\(\displaystyle{ 1=(m-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=3 \vee m=1}\)
Dla \(\displaystyle{ m=3}\) mamy następujące proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+3t \\ y=1+t \\ z=1+3t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x=y \\ x=z \end{cases}}\)
Musi zatem zachodzić \(\displaystyle{ 3(1+3t)=1+t}\)
\(\displaystyle{ 3+9t=1+t}\)
\(\displaystyle{ 8t=-2}\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{1}{4}}\)
Otrzymane t jednoznacznie wyznacza punkt przecięcia, zatem dla \(\displaystyle{ m=3}\) proste rzeczywiście się przecinają.
Dla \(\displaystyle{ m=1}\) mamy następujące proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+t \\ y=1+t \\ z=1+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=y \\ x=z \end{cases}}\)
Widzimy, że te dwie proste są równe, czyli pokrywają się.
Równanie drugiej prostej możemy przedstawić w postaci ogólnej jako \(\displaystyle{ x=\frac{y}{m}=z}\) i widzimy, ze wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ [1,m,1]}\). Wektorem kierunkowym pierwszej prostej jest \(\displaystyle{ [m,1,m]}\). Sprawdzamy teraz, kiedy te proste będą równoległe - wystarczy sprawdzić, dla jakiego m odpowiednie współrzędne tych dwóch wektorów będą proprcjonalne, czyli:
\(\displaystyle{ [m,1,m]=k[1,m,1]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m=k \\ 1=km \\m=k \end{cases}}\)
Ten układ ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ k=m=1}\) oraz \(\displaystyle{ k=m=-1}\). pierwsze z nich odpowiada przypadkowi, kiedy proste się pokrywają (przez przypadek już to odkryliśmy), w drugim przypadku (\(\displaystyle{ m=-1}\)) proste są równoległe.
Ostatecznie, podane proste:
pokrywają się dla \(\displaystyle{ m=1}\)
są równoległe dla \(\displaystyle{ m=-1}\)
mają jeden punkt wspólny dla \(\displaystyle{ m=3}\)
są zwichrowane dla \(\displaystyle{ m\in \Re \backslash \{-1,1,3\}}\)