przykład 4 niewspółliniowych wektorów własnych macierzy

[QAZ123*]

Prproszę o zweryfikowanie mojej odpowiedzi na dane zadanie:


Podaj przykład czterech parami niewspółliniowych wektorów własnych macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-5&3\\1&-4&3\\1&-5&4\end{array}\right]}\)

lub uzasadnij, że taki przykład nie istnieje.

Wyliczyłam wartości własne tej macierzy, i otrzymałam dwie różne wartości własne \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójną wartością własną. Czy otrzymanie dwóch różnych wartości własnych jest już argumentem za tym, że nie można podać przykładu czterech niewspółliniowych wektorów własnych tej macierzy??? Czy należy to pokazać jakoś inaczej???

[miki999]

Czy należy to pokazać jakoś inaczej?

Można to wykazać patrząc na krotności algebraiczne i geometryczne. Oczywiście zawsze krotność geometryczna jest \(\displaystyle{ \le}\) od krotności algebraicznej, a krotność geometryczna jest niczym innym jak wymiarem zbioru wektorów odpowiadających danej wartości własnej.



Pozdrawiam.

[Zordon]

Gdyby były 3 różne wartości własne, wtedy możnaby stwierdzić, że nie ma 4 wspolliniowych wartości własnych, teraz wszystko zależy od tego, jaki wymiar ma przestrzeń własna dla w.w. 1. Jeśli ma wymiar 2 to można dobrać nieskończenie wiele niewspółliniowych wektorów własnych.

[miki999]

Czegoś nie rozumiem.
Przecież jeżeli ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\) w skrócie mówiąc mamy zbiór wektorów: \(\displaystyle{ \alpha \vec{x} +\beta \vec{y}}\) (gdzie \(\displaystyle{ \alpha\ i\ \beta}\) są liczbami z rozpatrywanego ciała, a \(\displaystyle{ \vec{x} \ i\ \vec{y}}\) są liniowo niezależne). Czyli tworzy dwuwymiarowa przestrzeń, tak?

[Zordon]

niewspółliniowe nie znaczy liniowo niezależne

[miki999]

I wszystko jasne.



Pozdrawiam.

[didn9]

Czyli taki przykład nie istnieje?