\(\displaystyle{ \mathcal{B}=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) - baza przestrzeni wektorowej V, F - operator liniowy na V,
\(\displaystyle{ M _{\mathcal{B}} ^{\mathcal{B}} (F)=\left[\begin{array}{cccc}2&-1&0&1\\2&-1&-1&3\\1&-1&1&1\\1&-1&-1&3\end{array}\right]}\)
Wielomianem charakterystycznym operatora F jest \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^{3}(x-2)}\).
a) Znaleźć wszystkie wartości i wektory własne operatora F. Jaki jest wymiar podprzestrzeni przestrzeni V generowanej przez wektory własne operatora F?
b) Rozszerzyć bazę podprzestrzeni przestrzeni V generowanej przez wektory własne operatora F do bazy przestrzeni V i znaleźć macierz operatora F w otrzymanej bazie.
Robię tak:
z wielomianu charakterystycznego wyciągam wartości własne 1 oraz 2.
Następnie
\(\displaystyle{ M _{\mathcal{B}} ^{\mathcal{B}} (F) - I _{4}}\) doprowadzam do wierszowo zredukowanej i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
i jeśli teraz to jest macierz A to szukam rozwiązania równania AX=0
Z tego otrzymuję, że wektory własne odpowiadające wartości własnej 1 to
\(\displaystyle{ \mathcal{B}\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\\0&1\\0&1\end{array}\right]}\)
Analogicznie dla wartości własnej 2, wychodzi mi wektor własny:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}\left[\begin{array}{c}0\\-1\\0\\1\end{array}\right]}\)
Sprawdzam, że są liniowo niezależne, czyli wymiar podprzestrzeni generowanej przez te wektory własne jest 3.
Aby rozszerzyć ten układ wektorów własnych do bazy przestrzeni V wystarczy, że dorzucę do nich wektor \(\displaystyle{ v_{1}}\)
Czyli moja nowa znaleziona baza (nazwijmy ją C) wygląda tak
\(\displaystyle{ \mathcal{C}=\mathcal{B}\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}\right]}\)
Muszę teraz znaleźć \(\displaystyle{ M _{\mathcal{C}} ^{\mathcal{C}} (F)}\)
W takim wypadku należy skorzystać z równości:
\(\displaystyle{ M _{\mathcal{C}} ^{\mathcal{C}} (F)=M _{\mathcal{C}} ^{\mathcal{B}} (Id)\cdotM _{\mathcal{B}} ^{\mathcal{B}} (F)M _{\mathcal{B}} ^{\mathcal{C}} (Id)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ M _{\mathcal{B}} ^{\mathcal{C}} (Id)}\) to będzie macierz:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}\right]}\)
A macierz: \(\displaystyle{ M _{\mathcal{C}} ^{\mathcal{B}} (Id)}\) będzie do niej odwrotna.
Czy wszystko robię dobrze?