Dziwny (?) problem z diagonalizacja

[pc]

Mam takie zadanie
Prosze zdiagonalizowac forme kwadratowa:

\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3) = (x_1)^2 - 2x_2x_2 + (x_2)^2-(x_3)^2}\)
za pomoca fucnkji ortogonalnej

macierz ktora bede przywrownywal do zera aby obliczyc wartosci wlasne wyglada wiec tak
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1-\lambda & -1 & 0\\
-1 & 1-\lambda & 0\\
0 & 0 & -1-\lambda
\end{bmatrix}}\)
Z tego wychodza mi nastepujace wartosci wlasne:
\(\displaystyle{ \lambda_1= -1 \\ \lambda_2=0 \\ \lambda_3=2}\)

I to chyba jest ok. Tylko ze dalej, dla lambd kolejno:

1) mam uklad:
2x-y=0
-x+2y=0
z czego mi wychodzi
x=0
y=0
0z=0 czyli z = 0 np. bo moze byc dowolne tak?
czyli wektor bedzie wygladal tak: \(\displaystyle{ w_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}}\)
ale to jest troche dziwne. bo jak to znormalizowac jak przy normalizacji dostaniemy 0=1?

2)
x-y=0
-z=0
z czego:
x=-y
z=0
y=a (parametr)
x=-a
wektor \(\displaystyle{ w_2 = \begin{pmatrix}-a \\ a \\ 0\end{pmatrix}}\)
po normalizacji \(\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
wiec mamy
\(\displaystyle{ w_2 = \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix}}\)

3)
-x-y=0
-3z=0
więc:
-x=y
x=a (parametr)
y=-a
z=0

tutaj wszyla mi takie same jak w 2) parametr a czyli

\(\displaystyle{ w_3 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix}}\)


no i teraz jak sprawdzam to za nic nie chce wyjsc ze \(\displaystyle{ w_2*w_3=0}\) na przykład, gdzie popełniłem błąd?

Dziękuje z góry.

[BettyBoo]

0z=0 czyli z = 0 np. bo moze byc dowolne tak?

Może być dowolne, ale wektor którego szukasz ma być bazowy, czyli nie może być wektorem zerowym. Bierzesz \(\displaystyle{ z=1}\) i gotowe.

Pozdrawiam.