1) Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(-1,4,1) i prostopadlej do prostej 1/3x-4=5y+2 , z=3
2) napisz równanie plaszczyzny przechodzacej przez punkt p(1,2,3) i zawierajacej proste 1-x = (5-y)/z =(z+1)/2
równania płaszczyzny
-
ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
równania płaszczyzny
1) Po pierwsze, będziemy szukać najpierw płaszczyzny, która spełnia warunek prostopadłości do danej prostej, ale przechodzi nie przez dany punkt a przez punkt (0,0,0). To znaczy zamiast szukać przestrzeni afinicznej, poszukamy przestrzeni liniowej, którą na końcu przesuniemy.
Po drugie, zamiast danej prostej \(\displaystyle{ p:\,\begin{cases} 1/3x-5y=6 \\ z=3 \end{cases}}\) możemy patrzeć na prostą \(\displaystyle{ r: \,\begin{cases} 1/3x-5y=0 \\ z=0 \end{cases}}\), która jest do danej równoległa (czy wiesz dlaczego? - to ważne), czyli prostopadłość się zachowuje.
Niech q oznacza płaszczyznę prostopadłą do prostej r (a w konsekwencji i do p) i przechodzącą przez punkt (0,0,0).
Teraz ważny fakt: q jest przestrzenią liniową rozpiętą przez wektory [1/3,-5,0] i [0,0,1]. Dlaczego? Bo oba te wektory są prostopadłe do r (czy wiesz dlaczego?), są liniowo niezależne, a q ma wymiar 2. Skoro mamy wektory rozpinające tą przestrzeń, teraz możemy przejść do opisu równaniem, a potem odpowiednio przesunąć, czego nie zrobię w tej chwili, bo mam obiad.
No dobra: równanie jest postaci ax+by+cz=0. Mamy dwa wektory, które mają to równanie spełniać. Po podstawieniu otrzymamy dwa równania na współczynniki a, b i c. To oznacza, że jeden z nich możemy dobrać dowolnie (dwa równania - 3 niewiadome). To zgadza się ze zdrowym rozsądkiem. Wiemy przecież, że równanie płaszczyzny nie jest wyznaczone jednoznacznie - możemy je przecież wymnożyć przez dowolną liczbę. Oto otrzymane równania:
\(\displaystyle{ r: \,\begin{cases} 1/3a-5b=0 \\ c=0 \end{cases}}\)
Przyjmijmy a=3. Wtedy b=1/5, c=0. Zatem równanie q to 3x+1/5y=0.
Czyli równanie szukanej płaszczyzny - równoległej do q i przechodzącej przez dany punkt jest postaci 3x+1/5y=k, gdzie k jest jakąś stałą (dlaczego tak musi być?). Musimy ją znaleźć. Żeby to zrobić, podstawiamy współrzędne danego punktu i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą k, którą z niego wyznaczamy. Nie chce mi się już tego robić, bo mi tu w okienku edycji nie wyświetla współrzędnych tego punktu. Pozdrawiam.
Po drugie, zamiast danej prostej \(\displaystyle{ p:\,\begin{cases} 1/3x-5y=6 \\ z=3 \end{cases}}\) możemy patrzeć na prostą \(\displaystyle{ r: \,\begin{cases} 1/3x-5y=0 \\ z=0 \end{cases}}\), która jest do danej równoległa (czy wiesz dlaczego? - to ważne), czyli prostopadłość się zachowuje.
Niech q oznacza płaszczyznę prostopadłą do prostej r (a w konsekwencji i do p) i przechodzącą przez punkt (0,0,0).
Teraz ważny fakt: q jest przestrzenią liniową rozpiętą przez wektory [1/3,-5,0] i [0,0,1]. Dlaczego? Bo oba te wektory są prostopadłe do r (czy wiesz dlaczego?), są liniowo niezależne, a q ma wymiar 2. Skoro mamy wektory rozpinające tą przestrzeń, teraz możemy przejść do opisu równaniem, a potem odpowiednio przesunąć, czego nie zrobię w tej chwili, bo mam obiad.
No dobra: równanie jest postaci ax+by+cz=0. Mamy dwa wektory, które mają to równanie spełniać. Po podstawieniu otrzymamy dwa równania na współczynniki a, b i c. To oznacza, że jeden z nich możemy dobrać dowolnie (dwa równania - 3 niewiadome). To zgadza się ze zdrowym rozsądkiem. Wiemy przecież, że równanie płaszczyzny nie jest wyznaczone jednoznacznie - możemy je przecież wymnożyć przez dowolną liczbę. Oto otrzymane równania:
\(\displaystyle{ r: \,\begin{cases} 1/3a-5b=0 \\ c=0 \end{cases}}\)
Przyjmijmy a=3. Wtedy b=1/5, c=0. Zatem równanie q to 3x+1/5y=0.
Czyli równanie szukanej płaszczyzny - równoległej do q i przechodzącej przez dany punkt jest postaci 3x+1/5y=k, gdzie k jest jakąś stałą (dlaczego tak musi być?). Musimy ją znaleźć. Żeby to zrobić, podstawiamy współrzędne danego punktu i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą k, którą z niego wyznaczamy. Nie chce mi się już tego robić, bo mi tu w okienku edycji nie wyświetla współrzędnych tego punktu. Pozdrawiam.