Znaleźć baze przestrzeni generowanej przez wektory

plejek · Post autor: **plejek** » 17 cze 2010, o 12:45

Znaleźć baze przestrzeni generowanej przez wektory (2,3,1), (1,2,1),(3,4,1), (1,3,2) w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

Jakby były podane 2 wektory to robie iloczyn wektorowy ale ja mam tu 4 wektory wiec jak to trzeba zrobic?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 17 cze 2010, o 13:11

W \(\displaystyle{ R^{3}}\) baze tworza dowolne trzy niezalezne wektory. W \(\displaystyle{ R^2}\) dwa niezalezne wektory. Wiec zbadaj niezaleznosc tych wektorow, jesli znajdziesz 3 niezaleze to one beda baza, jesli beda dwa do bedzie jakas podprzestrzen ale dla niej baze beda tworzyc te dwa wektory

plejek · Post autor: **plejek** » 17 cze 2010, o 13:16

Jak się bada niezależność wektorów?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 17 cze 2010, o 13:20

jak patrze to:
\(\displaystyle{ v_3=2v_1-v_2\\
v_4=3v_2-v_1}\)
mozesz tez wrzucic to w macierz i bawic sie w eliminacje lub podwyznaczniki

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 cze 2010, o 13:23

Utwórz macierz, której kolumnami (lub wierszami) będą podane wektory i oblicz jej rząd. Ta liczba powie Ci, jaki jest wymiar przestrzeni generowanej przez podane wektory. Jeśli będzie to 2, to wystarczy wybrać dowolne dwa liniowo niezależne wektory z podanych 4 (można to też zrobić korzystając z obliczeń wykonanych podczas wyznaczania rzędu). Jeśli rząd będzie równy 3, to znaczy że ta podprzestrzeń to \(\displaystyle{ R^3}\), a wówczas możesz wziąć np bazę kanoniczną.

Pozdrawiam.