Mam zadanie:
Wyznaczyć odległość wektora \(\displaystyle{ x=[2,-2,2,5]}\) do podprzestrzeni \(\displaystyle{ L}\) przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ R^4}\), gdzie \(\displaystyle{ L=span \lbrace [0,3,1,1],[-1,1,1,2],[1,8,2,1] \rbrace}\).
Więc najpierw znajduje bazę tej przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\). Wychodzą mi 2 wektory bazowe podprzestrzeni \(\displaystyle{ L}\), i kolejne 2 będą wektorami bazowymi dopełnienia ortogonalnego do \(\displaystyle{ L}\). Wyszło mi, że baza \(\displaystyle{ R^4}\) to 2 wektory z \(\displaystyle{ L}\) i 2 wektory z \(\displaystyle{ L^\perp}\) czyli: \(\displaystyle{ \lbrace [0,3,1,1],[-1,1,1,2],[1,0,-1,1],[0,1,-5,2]\rbrace}\) i teraz nie wiem jak policzyć odległość wektora \(\displaystyle{ x}\) od podprzestrzeni \(\displaystyle{ L}\). Zapisałem postać wektora \(\displaystyle{ x}\) w nowej bazie i wyszło \(\displaystyle{ x'=[-1,2,4,-1]}\), i mam wzór: \(\displaystyle{ dist(x,L)=\parallel pr_{L^\perp}x \parallel}\) . Jak policzyć tą odległość??