Znaleźć bazę ortogonalna V złożona z wektorów własnych op F

[MilosH]

\(\displaystyle{ \mathcal{B=}}\)(\(\displaystyle{ v_{1}}\),\(\displaystyle{ v_{2}}\),\(\displaystyle{ v_{3}}\),\(\displaystyle{ v_{4}}\)) - baza ortonormalna podprzestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\), \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) - operator liniowy na \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\).

\(\displaystyle{ M^{B}_{B}}\) \(\displaystyle{ \mathcal{(F)=}}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&1\\1&1&1&-1\\-1&1&1&1\\1&-1&1&1\end{array}\right]}\)

Znaleźć bazę ortogonalna \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) złożona z wektorów własnych operatora \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) i macierz operatora \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) w znalezionej bazie.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, nie wiem jak się za nie zabrać. Czy najpierw policzyć wartości własne...? Najlepiej gdyby ktoś napisał kroki rozwiązywania tego zadania.

[BettyBoo]

Ponieważ macierz jest symetryczna, to zadanie ma rozwiązanie.

1) Oblicz wartości własne
2) Wyznacz bazy przestrzeni własnych odpowiadających wszystkim wartościom własnym
3) Jeśli w którejś bazie z pkt 2) masz więcej niż 1 wektor, to zortogonalizuj tą bazę (np za pomocą metody ortogonalizacji Grama-Schmidta); otrzymane w ten sposób wektory są nadal wektorami własnymi odpowiadającymi danej wartości własnej; wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są z definicji ortogonalne
4) zapisz (ortogonalne) wektory bazowe w pewnej kolejności (wszystko jedno jakiej); wówczas szukaną macierzą operatora jest macierz diagonalna, która ma na przekątnej wartości własne ustawione dokładnie w takiej kolejności, w jakiej występują w bazie odpowiadające im wektory własne.
5) Jeśli chcesz, aby baza była ortonormalna, to podziel każdy wektor przez jego długość.

Pozdrawiam.

[bernox]

Mógłby ktoś zrobić te zadanie krok po kroku ? Szczerze mówiąc z podpowiedziami nawet nie wiem co zrobić...