udowodnić uproszczone twierdzenie, że kombinacja liniowa dwu funkcji wypukłych
g(x)=C1f1(x)+c2f2(x), x - wektor zmiennych losowych x1,x2.....xn
jest funkcją wypukłą.
Jakie warunki muszą spełniać stałe liczby c1, c2 tej kombinacji??
funkcje wypukłe
-
beti83-88-19
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
funkcje wypukłe
Z wypukłości \(\displaystyle{ f_{1}}\) i \(\displaystyle{ f_{2}}\) wiemy, że:
\(\displaystyle{ \forall x,y,a,b,a+b=1 \\
f_{1}(ax+by) \le af_{1}(x)+bf_{1}(y) \\
f_{2}(ax+by) \le af_{2}(x)+bf_{2}(y)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ g(ax+by)=c_{1}f_{1}(ax+by)+c_{2}f_{2}(ax+by) \le(*) \\ (*)\le c_{1}[af_{1}(x)+bf_{1}(y)]+c_{2}[af_{2}(x)+bf_{2}(y)]= \\ =a[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]+b[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]=ag(x)+bg(y)}\)
c.b.d.u.
\(\displaystyle{ c_{1},c_{2} \ge 0}\), żebyśmy mogli napisać pierwszą nierówność (oznaczoną gwiazdką).
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \forall x,y,a,b,a+b=1 \\
f_{1}(ax+by) \le af_{1}(x)+bf_{1}(y) \\
f_{2}(ax+by) \le af_{2}(x)+bf_{2}(y)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ g(ax+by)=c_{1}f_{1}(ax+by)+c_{2}f_{2}(ax+by) \le(*) \\ (*)\le c_{1}[af_{1}(x)+bf_{1}(y)]+c_{2}[af_{2}(x)+bf_{2}(y)]= \\ =a[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]+b[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]=ag(x)+bg(y)}\)
c.b.d.u.
\(\displaystyle{ c_{1},c_{2} \ge 0}\), żebyśmy mogli napisać pierwszą nierówność (oznaczoną gwiazdką).
Pozdrawiam