różnica ukł Cramera, a ukł Kroneckera -Capellego

[Justynaa]

Nie bijcie jak było, ale muszę to wiedzieć. Jak rozpoznać kiedy mam do czynienia z ukł Cramera, kiedy Kroneckera- Capellego. Podaję przykładowy układ z Pieniążka, bo tam to chyba źle rozwiązali:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y=1 \\ -2x+4y=-2 \end{cases}}\)

Pierwsze co to policzyłam wyznacznik i wyszedł 0, czy w takim razie da się to w jakikolwiek sposób rozwiązać?

[miodzio1988]

czy w takim razie da się to w jakikolwiek sposób rozwiązać?

Da się. Gaussem jedziesz.

[Justynaa]

? O_o

[miodzio1988]

Eliminacja Gaussa. W google mozna sobie wpisać.

[Justynaa]

Nie, nie było takiego na wykładzie to nie będę sobie tym zaśmiecać głowy tydzień przed egzaminem. Czyli inaczej się nie da, tak?
No bo wpadłam na taki pomysł, jakby uznać, że rząd macierzy =1 i z Kroneckera-Capellego to rozwiązać? Tylko właśnie też chodzi mi o to kiedy ogólnie mam stosować ten układ a kiedy Cramera?

[miodzio1988]

i z Kroneckera-Capellego to rozwiązać?

Tym twierdzeniem nie rozwiazesz ukladu rownan

[Tordek]

Twierdzenie Kroneckera-Capellego[1] – twierdzenie algebry liniowej rozstrzygające o istnieniu rozwiązań układu równań liniowych. Dzięki temu twierdzeniu łatwiej jest także rozstrzygać o liczbie rozwiązań układu.

Cytat z wikipedii. Więc tak jak pisał miodzio to twierdzenie mówi Ci co najwyżej o liczbie rozwiązań. W żadnym wypadku nie rozwiązuje układu równań- doczytaj wykład

ps. jeśli chodzi o wzory Cramera to dotyczą One jedynie przypadku kiedy wyznacznik (ten który policzyłaś myślę) musi byc różny od zera. Jeśli nie był( zresztą to widac ze nie byl na oko przy tak prostym układzie), znaczy to że rozwiązanie nie jest jednoznaczne (to znaczy ze układ ma więcej niż jedno rozwiązanie), żeby go podac to najlepiej rozwiązac go za pomocą eliminacji Gaussa

teraz jasne ?

[Justynaa]

Hmm, czyli tak, mam sobie równanie, patrze sobie na nie i pierwsze co to:
- liczę ile mam niewiadomych, a ile równań. Załóżmy, że \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) No to jak tak, to liczę wyznacznik, jak wyszło mi \(\displaystyle{ W \neq 0}\) to normalnie z tych wzorków sobie liczę i mam wynik, jak W=0 to kicha, liczę rząd macierzy, powiedzmy, że R(A) = 2 , a R(U) =2, zatem R(A)=R(U)=2 niewiadomych były 3, a rząd wyszedł 2 czyli 2<3 czyli ukł. nieoznaczony -> nieskończenie wiele rozwiązań, wybieram sobie ten minor niezerowy, potem parametry na prawo i liczę już normalnie ze wzorków. Jak R(A)=R(U)=2 a niewiadomych miałam 2 to 2=2 czyli będzie tylko jedno rozwiązanie, właśnie takiego jeszcze nie spotkałam to nie do końca wiem co robić, tak samo jak poprzednie?

[Tordek]

Dokładnie tak samo jak poprzednie

Jeśli masz dwa równania i dwie niewiadome no to sobie podstawiasz i tyle ;p jak w podstawówce

Jeśli zobaczysz na wikipedii "Wzory Cramera" to zobaczysz że One tyczą się problemu "n" niewiadomych i tam są odpowiednie wzory etc.

[Justynaa]

Haha Tomek, ciemne dziecko ze mnie . Dziękuję Wam za pomoc

[Mariusz M]

Justynaa,

Układ równań m równań o n niewiadomych rozwiązujesz w ten sposób

1. Stosujesz twierdzenie Kroneckera - Capellego aby stwierdzić ilość rozwiązań układu
(liczysz rząd macierzy głównej i rozszerzonej jeśli są równie to ilość rozwiązań jest niezerowa)
2.Sprowadzasz układ równań do postaci Cramera
(Macierz główna układu jest kwadratowa a jej wyznacznik niezerowy)
Aby sprowadzić układ równań do postaci Cramera
nadmiarowe równania skreślasz a nadmiarowe niewiadome przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
3. Rozwiązujesz układ równań w postaci Cramera znanymi Tobie metodami np

a) metoda wyznaczników Cramera
b) metoda eliminacji Gaussa
c) metoda równania macierzowego
d) metoda rozkładu macierzy

Wiele ludzi mylnie uważa że twierdzenie Kroneckera-Capellego to metoda rozwiązywania równań
a to dlatego że podczas obliczania rzędów macierzy metodą eliminacji Gaussa
można przy okazji otrzymać wynik
Jednak jest to wynik uzyskany za pomocą metodą eliminacji Gaussa
a nie twierdzenia Kroneckera-Capellego