Witam serdecznie,
mam ogromny kłopot z wyznaczaniem bazy prostopadłej szukałem jakiś przydatnych informacji według, których mógłbym poradzić sobie z tym zadaniem, ale nie udało mi się. Dlatego prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Wyznacz bazę prostopadłą przestrzeni:
\(\displaystyle{ \left( \mathbb{R}^2, \xi \left( \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right] \right) \right) = 3x_1y_1-x_2y_2-x_1y_2+2x_2y_2}\)
Będę bardzo wdzięczny za pomoc. Prosiłbym też o rozwiązanie tego zadania w sposób krokowy, abym mógł zrozumieć jak liczyć kolejne zadania.
Pozdrawiam
Jarek
wyznaczanie bazy prostopadłej
-
szw1710
wyznaczanie bazy prostopadłej
Masz tu płaszczyznę z iloczynem skalarnym innym niż standardowy. W przestrzeni unitarnej (liniowej z iloczynem skalarnym) do wyznaczenia bazy ortogonalnej stosuje się ortogonalizację Schmidta zwaną też ortogonalizacją Grama-Schmidta. Zobacz do dowolnego podręcznika analizy funkcjonalnej lub do Internetu. Przeczytaj, zastosuj. Oczywiście w tym iloczynie skalarnym, jaki masz, wektory jednostkowe nie będą prostopadłe. Zortogonalizuj je.
Można też tak:
Weź wektory: \(\displaystyle{ e_1=(1,0),\quad e_2=(0,1)}\) i unormuj je w iloczynie skalarnym, jaki masz. Teraz załóżmy, że mamy dwa wektory \(\displaystyle{ u,v}\) o normie 1. Wtedy
\(\displaystyle{ (u+v,u-v)=\|u\|^2-\|v\|^2=1-1=0}\), więc \(\displaystyle{ u+v\perp u-v}\)
UWAGA: zamiast \(\displaystyle{ \xi(u,v)}\) pisałem \(\displaystyle{ (u,v)}\).
Można też tak:
Weź wektory: \(\displaystyle{ e_1=(1,0),\quad e_2=(0,1)}\) i unormuj je w iloczynie skalarnym, jaki masz. Teraz załóżmy, że mamy dwa wektory \(\displaystyle{ u,v}\) o normie 1. Wtedy
\(\displaystyle{ (u+v,u-v)=\|u\|^2-\|v\|^2=1-1=0}\), więc \(\displaystyle{ u+v\perp u-v}\)
UWAGA: zamiast \(\displaystyle{ \xi(u,v)}\) pisałem \(\displaystyle{ (u,v)}\).