Przekształcenia liniowe / Przekształcenia afiniczne

kregiel · Post autor: **kregiel** » 7 cze 2010, o 14:15

Witam ostatnio na podstawie grafiki komputerowej miałem takie zadania i niestety miałem z nim duży problem czy ktoś mógłby pomóc ?
3.Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f :R^{3} -> R^{2}}\) określone jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y,z) = (2x+y-z, -x+3y+4z)}\)
wyznaczyć jego macierz w bazach \(\displaystyle{ \alpha = {[1,1,0],[0,-1,1],[1,0,0]} i \beta = {[1,-1],[1,1]}}\)
4. Podać macierz przekształcenia afinicznego płaszczyzny będącego złożeniem translacji o wektor [3,-1] z obrotem dookoła początku układu współrzędnych o kąt 30 stopni i symetrią środkową względem Oy. Wyznaczyć wartość tego przekształcenia dla punktu (4,-5)
5. Wyznaczyć macierz symetrii płaszczyzny \(\displaystyle{ R^{2}}\) względem prostej \(\displaystyle{ l:y =2x+1}\)

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 7 cze 2010, o 16:07

3) Najpierw napisz \(\displaystyle{ M}\), macierz przekształcenia w bazie kanonicznej, później \(\displaystyle{ A\ i\ B}\), macierze przejścia z bazy kanonicznej do bazy \(\displaystyle{ \alpha}\) i z bazy kanonicznej do \(\displaystyle{ \beta}\).

Szukana macierz to \(\displaystyle{ BMA}\).

kregiel · Post autor: **kregiel** » 7 cze 2010, o 18:08

a jak napisać tą macierz ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 7 cze 2010, o 20:50

\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc} 2&1&-1 \\ -1&3&4 \end{array}\right]}\)
czyli tak żeby po pomnożeniu przez wektor \(\displaystyle{ (x,y,z)^T}\) dawało \(\displaystyle{ (f(x,y,z))^T}\)

kregiel · Post autor: **kregiel** » 7 cze 2010, o 21:01

jak wyliczyłeś tą macierz ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 8 cze 2010, o 10:57

Liczysz wartości funkcji na bazie kanonicznej \(\displaystyle{ f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)}\) i ustawiasz je w macierz.

Właściwie widać jak będzie wyglądała macierz M z postaci funkcji, to jest po prostu przepisanie kolejnych współczynników przy kolejnych zmiennych;)

kregiel · Post autor: **kregiel** » 8 cze 2010, o 11:28

skąd wziąłeś tą bazę kanoniczną ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 8 cze 2010, o 12:20

Baza kanoniczna to standardowa baza.

Miałeś kiedyś do czynienia z macierzami przekształcenia?

Się zrymowało:D

kregiel · Post autor: **kregiel** » 8 cze 2010, o 12:37

f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)
jak ci to wyszło ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 8 cze 2010, o 14:07

Pytałeś skąd wzięła się macierz M, to napisałem taką metodę.

Ma być

\(\displaystyle{ (f(x,y,z))^T=M(x,y,z)^T}\)

macierz M jest postaci \(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc} m_{11}&m_{12}&m_{13} \\ m_{21}&m_{22}&m_{23} \end{array}\right]}\)

jak sobie podstawisz wektory \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) to otrzymasz kolejno \(\displaystyle{ (m_{11},m_{21})^T,(m_{12},m_{22})^T,(m_{13},m_{23})^T}\).