macierz unitarna - wartości własne

[WSP]

Jak w takiej macierzy wyliczyć wyznacznik, aby otrzymać wartości własne tej macierzy? Robiłem wszystkimi znanymi mi sposobami i nic nie może mi wyjść. Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&2&1\\2&1-\lambda&-1\\1&-1&1-\lambda\end{array}\right]}\)

[lukasz1804]

Wartościami własnymi są te \(\displaystyle{ \lambda}\), dla których dany wyznacznik jest równy zeru. Mamy zatem \(\displaystyle{ 0=(1-\lambda)^3-2-2-(1-\lambda)-(1-\lambda)-4(1-\lambda)=(1-\lambda)^3-6(1-\lambda)-4=(1-\lambda)^3-4(1-\lambda)-2(1-\lambda)-4=(1-\lambda)[(1-\lambda)-2][(1-\lambda)+2]-2[(1-\lambda)+2]=[(1-\lambda)+2][(1-\lambda)(-1-\lambda)-2]=(3-\lambda)(1+\lambda^2)}\).

(W tym przekształceniach przydaje się zwykła cierpliwość, nic więcej nie jest potrzebne...)

Stąd łatwo dostajemy trzy różne wartości własne \(\displaystyle{ 3, i ,-i}\).