Zbadać liczbę rozwiązań podanego układu równań w zależności od parametru a:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ ax_1 + 5x_2 - x_3 = -5 \\ -3x_1 + 3x_2 + ax_3 = 1\end{cases}}\)
obliczyłam już ze \(\displaystyle{ x_1 = 2}\) a \(\displaystyle{ x_2 = -5}\) z tym ze nie wiem czy to jest dobrze
jestem zupełnie zielona bardzo proszę o pomoc:)
aha mam nadzieje ze napisałam to w dobrym dziale
Liczba rozwiązań układu.
Liczba rozwiązań układu.
Ostatnio zmieniony 6 cze 2010, o 16:16 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie używaj Caps Locka.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie używaj Caps Locka.
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
Liczba rozwiązań układu.
Musisz sobie współczynniki wstawić kolejno w macierz i tam badać w zależności od tego parametru a.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Liczba rozwiązań układu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ ax_1 + 5x_2 - x_3 = -5 \\ -3x_1 + 3x_2 + ax_3 = 1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ ax_1 + 5x_2 - x_3 = -5 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ 3ax_1 + 15x_2 - 3x_3 = -15 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ \qquad \left(15+3a \right) x_2 + \left(2a-3 \right) x_3 = a-15 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
Niech
\(\displaystyle{ a \neq 2 \wedge a \neq -5}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 = -1+3 \cdot \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 = -1+1-\frac{60}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = -\frac{20}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
Teraz jeszcze trzeba rozważyć przypadki
\(\displaystyle{ a=2}\)
oraz
\(\displaystyle{ a=-5}\)
Można te zadanie rozwiązać bez rozwiązywania układu równań liniowych
korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego
Gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej układ ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ ax_1 + 5x_2 - x_3 = -5 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ 3ax_1 + 15x_2 - 3x_3 = -15 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ \qquad \left(15+3a \right) x_2 + \left(2a-3 \right) x_3 = a-15 \\ \qquad \qquad \left(a-2 \right) x_3 = 0\end{cases}}\)
Niech
\(\displaystyle{ a \neq 2 \wedge a \neq -5}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 = -1+3 \cdot \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 = -1+1-\frac{60}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = -\frac{20}{3a+15} \\ \qquad x_2 = \frac{a-15}{3a+15} \\ \qquad \qquad x_3 = 0\end{cases}}\)
Teraz jeszcze trzeba rozważyć przypadki
\(\displaystyle{ a=2}\)
oraz
\(\displaystyle{ a=-5}\)
Można te zadanie rozwiązać bez rozwiązywania układu równań liniowych
korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego
Gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej układ ma rozwiązanie