Udowodnić wzór na podwojony iloczyn korzystając z tożsamości

[pc]

Proszę wyprowadzić wzór na podwojony iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c})}\)

Korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{3} \epsilon^{ijk}\epsilon^{klm}=\delta^{il}\delta^{jm} - \delta^{im}\delta^{jl}}\)
\(\displaystyle{ \epsilon}\) - symbol Levi-Civity
\(\displaystyle{ \delta}\) - 1 gdy oba indeksy są takie same, w przeciwnym wypadku 0 (wyleciała mi nazwa z głowy - przepraszam)

Oraz def. iloczynu wektorowego w postaci:
\(\displaystyle{ ( \vec{a} \times \vec{b})^{i} = \sum_{j,k=1}^{3} \epsilon^{ijk} a^j b^k}\)

* * *

Próbowałem oczywiście sam coś porozwijać, ale mam problemy z zwykłym wstawieniem odpowiednich rzeczy do tych definicji - gubię się w oznaczeniach.
Np.
\(\displaystyle{ [\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})]^i = \sum_{j,k=1}^{3} \epsilon^{ijk} a^j * (\vec{b} \times \vec{c})^k}\)
czy taka forma zapisu jest w ogole poprawna, w sensie to drugie z iloczynem wektorowym, że biorę k-ty element wynikowego wektora z iloczynu?

\(\displaystyle{ ... = \sum_{j,k=1}^{3} \epsilon^{ijk} a^j * (\sum_{l,m=1}^{3} \epsilon^{ilm} b^l c^m)}\)
Dobrze rozpisałem to..? Co mogę zrobić dalej, lub jesli źle w jaki sposób rozpisać to prawidłowo? Rozumiem że można znak sumy wyciągnąć bo są niezależne indeksy a później dwie sumy zapisać w postaci jednej, ale wtedy będziemy mieć jedną sumę po 4 indeksach, czyli chyba nie bardzo da się skorzystać z tej tożsamości..?

[luka52]

\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \left( \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c}) \right)^i & = & \sum_{j,k=1}^3 \epsilon^{ijk} a^j \sum_{l,m=1}^3 \epsilon^{klm} b^l c^m = \sum_{j,l,m=1}^3 a^j b^l c^m \sum_{k=1}^3 \epsilon^{ijk} \epsilon^{klm} \\
& = & \sum_{j,l,m=1}^3 a^j b^l c^m (\delta^{il}\delta^{jm} - \delta^{im}\delta^{jl}) = b^i \sum_{j=1}^3 a^j c^j - c^i \sum_{j=1}^3 a^jb^j \end{eqnarray*}}\)

[pc]

mógłbym prosić o dokładniejsze wytłumaczenie końcówki czyli tego:
\(\displaystyle{ \sum_{j,l,m=1}^3 a^j b^l c^m (\delta^{il}\delta^{jm} - \delta^{im}\delta^{jl}) = b^i \sum_{j=1}^3 a^j c^j - c^i \sum_{j=1}^3 a^jb^j}\)
..?
Nie za bardzo rozumiem to przejście.

[luka52]

Rozważ na początek jeden składnik różnicy, tj. \(\displaystyle{ \sum_{j,l,m=1}^3 a^j b^l c^m \delta^{il}\delta^{jm}}\). Nie będzie się on zerował jedynie gdy \(\displaystyle{ i = l}\) i \(\displaystyle{ j = m}\). \(\displaystyle{ i}\) mamy ustalone, bo liczymy \(\displaystyle{ i}\)-tą współrzędną podwójnego iloczynu wek. - czyli na początek można wyciągnąć przed sumę \(\displaystyle{ b^{l=i}}\). No a dalej pozostanie do zsumowania \(\displaystyle{ a^j c^{m=j}}\) od 1 do 3. Analogicznie kolejny składnik różnicy.