Wartości własne i wektory własne

[Fotoraj]

Proszę o sprawdzenie zadania.

Zadanie:
Wyznacz wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&2\end{bmatrix}}\)

Wartość własna:

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = 0}\)

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-\lambda&0\\0&2-\lambda\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ det(A - \lambda I) = \lambda^{2}-3\lambda+2}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{2} = 2}\)

Wektory własne:

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-1&0\\0&2-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{2}=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-2&0\\0&2-2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -x&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x = 0}\)

[miki999]

Wartości własne ok, ale co zrobiłeś z wektorami, nie rozumiem.

[JankoS]

Rozwiązanie jest nieskończone. Wektory własne trzeba znaleźć.

[Fotoraj]

Wektory własne:

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-1&0\\0&2-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)
\(\displaystyle{ x \in R}\)

Czyli wektor własny wynosi:
\(\displaystyle{ V_{1} = (x , 0) ,gdzie \ \ x\in R}\)

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{2}=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-2&0\\0&2-2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -x&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x = 0}\)
\(\displaystyle{ y \in R}\)

Czyli wektor własny wynosi:
\(\displaystyle{ V_{2} = (0 , y) ,gdzie \ \ y\in R}\)

Czy teraz już dobrze wyznaczyłem wektory własne?

[JankoS]

Chyba nie. Wektor własny nie może być wektorem zerowym.

[Fotoraj]

Chyba nie. Wektor własny nie może być wektorem zerowym.

Może napisz jak wyznaczyć wektory własne macierzy to dojdę już jak rozwiązać kolejne przykłady.

[JankoS]

Proszę się nie zniechęcać. Wszystko jest prawie dobrze, trzeba tylko wyeliminować wektor zerowy, a więc \(\displaystyle{ V_1=(x,0), \ x \in R-\{0\}.}\) Tak samo drugi.