Wartosci wlasne , sprawdzenie.

[solmech]

Witam,

chcialbym aby ktos z Was sprawdzil , czy sposob jakim zapisuje moje wyniki jest matematycznie poprawny. Z samymi obliczeniami nie mam trudnosci.

Dla przykladu wezme latwa macierz, aby nie bylo duzo do pisania

\(\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}}\)

Wartosci wlasne:

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = (2-\lambda) \cdot (-1-\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2}\)

\(\displaystyle{ P(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2}\)

Miejsca zerowe \(\displaystyle{ P(\lambda)}\) :

\(\displaystyle{ P(\lambda) = 0 : \lambda^2 - \lambda - 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \lambda _{1} = 2}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \lambda _{2} = -1}\)

Wektory wlasne:

Do \(\displaystyle{ \lambda _{1} = 2}\)

\(\displaystyle{ 0 \cdot v _{1} + 0 \cdot v _{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ 0 \cdot v _{1} - 3 \cdot v _{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow v _{2} = 0}\)

Podprzestrzen wlasna:

\(\displaystyle{ u _{\lambda _{1} } = \{a \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , a \in \mathbb R \}}\)

Mozliwy wektor wlasny:

\(\displaystyle{ w _{1} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}}\)

Wielokrotnosc wartosci wlasnej \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\):

\(\displaystyle{ \dim(u _{\lambda _{1} } ) = 1}\)

Oczywiscie z druga wartoscia wlasna analogicznie.

Pozdrawiam i prosze o sprawdzenie.

Tomek

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = (2-\lambda) \cdot (-1-\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2}\)

\(\displaystyle{ P(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2}\)

Miejsca zerowe \(\displaystyle{ P(\lambda)}\) :

\(\displaystyle{ P(\lambda) = 0 : \lambda^2 - \lambda - 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \lambda _{1} = 2}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \lambda _{2} = -1}\)

A po co tak kombinujesz? Przecież masz to od razu -

\(\displaystyle{ 0=det(A-\lambda I) = (2-\lambda) \cdot (-1-\lambda)\ \Rightarrow \lambda=2,\ \lambda=-1}\)

Mozliwy wektor wlasny:

Co to oznacza?

Btw, jakie jest właściwie polecenie do tego zadania?

Pozdrawiam.

[solmech]

Zadanie bylo obliczyc wszystko to co wypisalem Wiem ze niepotrzebnie wymnozylem te nawiasy, ale chcialem zeby wygladalo jak wielomian

Co do mozliwego wektoru wlasnego.

Jeden mozliwy jest ten ktory napisalem, ale kazdy inny, np \(\displaystyle{ w _{1} = \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}}\) albo \(\displaystyle{ w _{1} = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}}\) itd. by tez spelnil definicje \(\displaystyle{ A \cdot w = \lambda \cdot w}\)

[BettyBoo]

Wiem ze niepotrzebnie wymnozylem te nawiasy, ale chcialem zeby wygladalo jak wielomian

Lepiej tego nie rób tak jak zrobiłeś, bo to sugeruje, że nie bardzo wiesz co robisz

Czy w zadaniu należało podać "możliwy wektor własny"? Jeśli nie, to tego też nie rób.

Pozdrawiam.

[solmech]

To jak mam to w takim badz razie zapisac? Bo studentka ktora prowadzi moje cwiczenia wlasnie powiedziala ze mam to zrobic w ten sposob, a wszystkie mozliwosci sa zapisane w podprzestrzeni i ze niby sie podaje jeden jako wektor.

[miodzio1988]

To jak mam to w takim badz razie zapisac? Bo studentka ktora prowadzi moje cwiczenia wlasnie powiedziala ze mam to zrobic w ten sposob, a wszystkie mozliwosci sa zapisane w podprzestrzeni i ze niby sie podaje jeden jako wektor.

Jak to studentka prowadzi ćwiczenia? ;] No jest spoko. Bo tych wektorów można dużo wygenerować. Natomiast najczesciej tylko jeden jest potrzebny

[solmech]

Taki zwyczaj w Niemczech ze niektore cwiczenia prowadza studenci Ale te cwiczenia polegaja bardziej na tym ze sa to jakby darmowe korki