Sprawdź, czy następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{3}}\).
a) wszystkie wektory postaci [a, 0, 0]
b) wszystkie wektory postaci [a, 1, 1]
c) wszystkie wektory [a, b, c], gdzie b = a + c
d) wszystkie wektory [a, b, c], gdzie b = a + c + 1
2.
Znajdź bazy i wymiary następujących przestrzeni liniowych
a) podprzestrzeń rozwiązań układu jednorodnego \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ -2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ -x_{1} + x_{3} = 0}\)
Proszę o pomoc, bo nie wiem jak w/w zadania rozwiązać.
Ad. a
x(a, 0, 0) + y(a, 0, 0) + z(a, 0, 0) = (0, 0, 0)
stąd dostaje:
ax + ay + az = 0
0x + 0y + 0z = 0
0x + 0y + 0z = 0
i z tego wychodzi, że wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę \(\displaystyle{ R^{3}}\)
