Wyznaczyć ortogonalne i unormowane wektory własne macierzy

[pc]

\(\displaystyle{ A_2 = \begin{pmatrix} -2 && -1 && 1 \\ -1 && 0 && -1 \\ 1 && -1 && -2 \end{pmatrix}}\)
wartości własne mi wyszły takie:
\(\displaystyle{ \lambda_1 = -3 \ \lambda_2 = -2 \ \lamda_3 = 1}\)

teraz jak wyznaczyć te wektory? wiem że w przypadku "normalnych" wektorów po prostu podstawiam wartości do macierzy z -lambda która użyłem do liczenia wartości własnych i liczę jak układ równań, ale nie wiem co zrobić żeby wektory te były ortogonalne i unormowane, w jaki sposób wtedy liczy się te wektory?

Dziękuję z góry.

[pyzol]

Teraz zrób sobie takie równanie (dla wartości własnej -3):
\(\displaystyle{ A_2[x_1\; x_2\; x_3]^T=-3[x_1\; x_2 \; x_3]^T}\)
Rozwiąż ten układ równań (jedno równanie będzie liniowo zależne od pozostałych).
...
Nie chce mi się pisać układu równań.
Wyjdzie Ci takie coś:
\(\displaystyle{ x_2=-x_3\\
x_1=0}\)
Podprzestrzeń własna to:
\(\displaystyle{ [0\; -x_3\;x_3]=x_3[0\;-1\;1]}\)
Teraz ten wektor musisz unormować:
\(\displaystyle{ x_3\sqrt{0^2+1^2+1^2}=1}\)

[pc]

czyli generalnie taki układ równań mam rozwiązać?
\(\displaystyle{ -2x_1-x_2+x_3=-3x_1 \\
-x_1-x_3=-3x_2 \\
x_1-x_2-2x_3=-3x_3}\)
..?
Później 2 pozostałe układy, i za każdym razem wziąść to samo x z tym samym indeksem jako parametr tak? I w ten sposób będę miał ortogonalne i unormowane wektory, czy trzeba coś jeszcze zrobić?

[pyzol]

Edytowałem wyżej. W ten sposób otrzymasz wektor ortonormalny dla wartości własnej -3.
Teraz musisz zrobić to jeszcze dla pozostałych wartości.

[pc]

chyba rozumiem już raczej, ale jeszcze się zapytam dla pewności

\(\displaystyle{ x_1=-\alpha \ x_2 = 0 \ x_3 = \alpha}\)
takie coś mi wyszło, czyli w trochę innej kolejności niż ty napisałeś, ale raczej dobrze (proszę o ewentualne sprawdzenie), podstawiłem alfę, żeby od razu widziec co jest parametrem
czyli później będzie coś takiego
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\alpha=1}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) i podstawiam po prostu to za alfę gdzie trzeba i dostanę wektor taki jak ma być w zadaniu tak?

[pyzol]

Tak, ja tam się pomyliłem, więc wynik dla pierwszej wartości własnej:
\(\displaystyle{ \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}\; 0\; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]^T}\)
Robisz to dla dwóch pozostałych. Na końcu możesz sprawdzić sobie ich iloczyny skalarne. Powinny wyjśc 0.