Wektory i wartości własne?

[liky7]

Znaleźć wartości i wektory własne macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}cos \theta&sin \theta\\-sin \theta&cos \theta \end{array}\right]}\)
Wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ (cos \theta - \lambda)^{2}+sin^{2} \theta=0}\) ...
Czy ktoś potrafi to zrobić?

[miki999]

Bardzo ładnie zacząłeś. Nie możesz tego pociągnąć dalej? Pamiętaj, że rozw. nie musi być rzeczywiste



Pozdrawiam.


edit. na pw dostałem pytanie, stąd rozwijam myśl.

Znajdźmy wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}cos \theta&sin \theta\\-sin \theta&cos \theta \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ (\cos \theta - \lambda)^{2}+\sin^{2} \theta=0 \\ \lambda ^2 -2 \lambda \cos \theta+1=0\\ \sqrt{\Delta}= \sqrt{4 \cos^2 \theta -4}=2i \sin \theta \\ \lambda_1=\cos \theta+i \sin \theta \quad \quad \lambda_2=\cos \theta -i \sin \theta}\)

Teraz wystarczy skorzystać z definicja wektora własnego.

[liky7]

Dzięki =)

-- 20 maja 2010, o 18:19 --

A czy mógłbyś mi sprawdzić, czy dobrze wyznaczyłem wektory własne?
Układ równań:
dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\)
\(\displaystyle{ -i sin \theta x+sin \theta y=0}\)
\(\displaystyle{ -sin \theta x-i sin \theta y=0}\)
wektor własny x=i y=-1 [i,-1]
dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\)
\(\displaystyle{ isin \theta x+sin \theta y=0}\)
\(\displaystyle{ -sin \theta x+isin \theta y=0}\)
wektor własny x=1, y=-i [1,-i]
Odp.: Wektory własne \(\displaystyle{ [i,-1] [1,-i]}\)

????????

[miki999]

Przecież z def. mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos \theta&\sin \theta\\-\sin \theta&\cos \theta \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2 \end{array}\right]=(\cos \thetaa +i \sin \theta) \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2 \end{array}\right] \\ ... \\ \left[\begin{array}{c}x_1 \cos \theta +x_2 \sin \theta \\ -x_1 \sin \theta+x_2 \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1 \cos \theta +x_1 i \sin \theta\\x_2 \cos \theta + x_2 i \sin \theta \end{array}\right]}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_2 = i x_1\\ -x_1=i x_2 \end{cases}}\)
a, że jest to ten sam warunek, to: \(\displaystyle{ i x_1 = x_2}\)
Zatem mamy zbiór wektorów postaci: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x_1\\i x_1 \end{array}\right]}\)
2. lambdę analogicznie.



Pozdrawiam.

[liky7]

A czy dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) mamy:

\(\displaystyle{ x_{1}cos \theta+x_{2} sin \theta= x_{1}cos \theta- x_{1}isin \theta}\)
\(\displaystyle{ –x_{1}sin \theta+x_{2}cos \theta=x_{2}cos \theta-x_{2}isin \theta}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ x_{2} = -x_{1}i}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}i}\)
Czyli rozwiązanie stanowią wektory
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{1}\\-x_{1}i\end{array}\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{2}i\\x_{2}\end{array}\right]}\)
Pytanie: dlaczego w rozwiązaniu dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\) pominąłeś wektor
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-ix_{2}\\x_{2}\end{array}\right]}\)
czyli
\(\displaystyle{ x_{2}\left[\begin{array}{cc}-i}\\1\end{array}\right]}\)
??????????????

Pozdrawiam

[miki999]

Pytanie: dlaczego w rozwiązaniu dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\) pominąłeś wektor

Ponieważ \(\displaystyle{ i x_1=x_2}\), więc:
\(\displaystyle{ x_{2}\left[\begin{array}{cc}-i}\\1\end{array}\right]=x_{1}\left[\begin{array}{cc}1}\\i\end{array}\right]}\),
więc są to dokładnie te same wektory.


Rozw. chyba jest ok.

[liky7]

A W PRZYPADKU DLA \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\)? Rozwiązania są dwa?

[miki999]

\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}i \\ \\(.........) \\ \\ \left[\begin{array}{cc}x_{2}i\\x_{2}\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{2}i\\x_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x_{1}\\-ix_{1}\end{array}\right]}\)