Cześć,
Mam takie zadanie:
Dana jest relacja:
\(\displaystyle{ R = (N x N, gr R, N x N)}\)
\(\displaystyle{ gr R = \{((a, b), (c, d)): a + d = c + b\}}\)
Wykazać, że ta relacja jest relacją równoważności.
gr R oznacza graf relacji.
Trochę dziwna ta notacja ale tak było w treści zadania. Czyli relacja R jest zbiorem par par ((x,y), (m,n)) ? I ogólnie relacja R jest podzbiorem iloczynu N^2 x N^2? Dobrze rozumiem ?
I teraz muszę sprawdzić 3 przypadki.
1. Czy relacja jest zwrotna.
Relacja jest zwrotna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy dla każdej pary (a,b) \(\displaystyle{ \in}\) N^2, (a,b) R (a, b) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a + b = b + a co jest prawdą, więc relacja R jest relacją zwrotną.
2. Czy relacja jest symetryczna.
Relacja jest symetryczna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy dla dowolnych (a, b), (a', b') \(\displaystyle{ \in}\) N^2, (a, b) R (a', b') \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) (a', b') R (a, b).
(a, b) R (a', b') \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a + b' = a' + b \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a' + b = a + b' \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (a', b') R (a, b), więc jest relacją symetryczną.
3. Czy relacja jest przechodnia.
Relacja jest przechodnia \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy dla dowolnych (a,b), (a',b'), (a'', b'') zachodzi implikacja:
(a, b) R (a', b') i (a', b') R (a'', b'') \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)(a, b) R (a'', b'')
(a, b) R (a', b') \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a + b' = a' + b \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a' - b' = a - b
(a', b') R (a'', b'') \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a' + b'' = a'' + b' \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a' - b' = a'' - b''.
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) a' - b' = a - b = a'' - b'' \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a - b = a'' - b'' \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a + b'' = a'' + b \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (a, b) R (a'', b'') więc relacja jest przechodnia.
Z faktu, że 3 powyższe warunki są spełnione, R jest relacją równoważności.
Czy dobrze ten przykład jest zrobiony?