Mam zbior \(\displaystyle{ K=\{ (a,b,c,d) \in R^{4}:a-b=c-d \}}\) i przestrzen liniowa \(\displaystyle{ V= R^{4}}\).
Jak udowodnic ze K jest albo nie jest podprzestrzenia V?
Czy zbior to podprzestrzen liniowa?
-
witonk
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 23:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z nieba
- Podziękował: 3 razy
Czy zbior to podprzestrzen liniowa?
No wlasnie. Pierwszy warunek to to czy wektor zeorwy nalezy do tego zbioru, tak? Czyli
0-0=0-0
i to tyle do tego warunku?
0-0=0-0
i to tyle do tego warunku?
-
miodzio1988
-
miodzio1988
Czy zbior to podprzestrzen liniowa?
Napisac jak te warunki wyglądają (wiesz jak?) i samo powinno się udowodnic.
Pamietaj, że:
\(\displaystyle{ a-b=c-d \Leftrightarrow a-c -b +d=0}\)
Pamietaj, że:
\(\displaystyle{ a-b=c-d \Leftrightarrow a-c -b +d=0}\)
-
pipol
Czy zbior to podprzestrzen liniowa?
Ogólnie jeśli masz zbiór postaci
\(\displaystyle{ V=\{(x_1 ,x_2,...,x_p )\in\mathbb{K}^p :a_1 x_1 +a_2 x_2 +...+a_p x_p =0 \mbox{ gdzie } a_i\in \mathbb{K} \mbox{ dla } 1\le i \le p\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest ciałem.
To zbiór \(\displaystyle{ V}\) z działaniami indukowanymi z \(\displaystyle{ \mathbb{K}^p}\) stanowi przestrzń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\)
Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ x,y\in V}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \mathbb{K}}\) wówczas
\(\displaystyle{ a_1 ( \alpha x_1 + \beta y_1) +a_2 ( \alpha x_2 + \beta y_2) +...+a_p ( \alpha x_p + \beta y_p )= \alpha (a_1 x_1 +a_2 x_2 +...+a_p x_p )+ \beta (a_1 y_1 +a_2 y_2 +...+a_p y_p )= \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 =0}\)
czyli \(\displaystyle{ \alpha x + \beta y\in V}\) cnd.
\(\displaystyle{ V=\{(x_1 ,x_2,...,x_p )\in\mathbb{K}^p :a_1 x_1 +a_2 x_2 +...+a_p x_p =0 \mbox{ gdzie } a_i\in \mathbb{K} \mbox{ dla } 1\le i \le p\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest ciałem.
To zbiór \(\displaystyle{ V}\) z działaniami indukowanymi z \(\displaystyle{ \mathbb{K}^p}\) stanowi przestrzń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\)
Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ x,y\in V}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \mathbb{K}}\) wówczas
\(\displaystyle{ a_1 ( \alpha x_1 + \beta y_1) +a_2 ( \alpha x_2 + \beta y_2) +...+a_p ( \alpha x_p + \beta y_p )= \alpha (a_1 x_1 +a_2 x_2 +...+a_p x_p )+ \beta (a_1 y_1 +a_2 y_2 +...+a_p y_p )= \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 =0}\)
czyli \(\displaystyle{ \alpha x + \beta y\in V}\) cnd.
-
witonk
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 23:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z nieba
- Podziękował: 3 razy
Czy zbior to podprzestrzen liniowa?
Wydaje mi sie, ze bedzie tak
\(\displaystyle{ k=(k1,k2,k3,k4)}\)
\(\displaystyle{ k1-k3-k2+k4=0}\)
\(\displaystyle{ m=(m1,m2,m3,m4)}\)
\(\displaystyle{ m1-m3-m2+m4=0}\)
\(\displaystyle{ k+m=(k1+m1,k2+m2,k3+m3,k4+m4)}\)
\(\displaystyle{ (k1+m1) - (k3+m3) - (k2+m2) + (k4+m4)= k1+m1-k3-m3-k2-m2+k4+m4= (k1-k3-k2+k4) + (m1-m3-m2+m4) = 0+0=0}\)
a wiec warunek jest spelniony.
Trzeci warunek
\(\displaystyle{ \alpha \in R}\), \(\displaystyle{ u \in W}\)
\(\displaystyle{ u=(u1,u2,u3,u4)}\)
czy \(\displaystyle{ \alpha u \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha u=( \alpha u1, \alpha u2, \alpha u3, \alpha u4)
\alpha u1- \alpha u3- \alpha u2+ \alpha u4= \alpha (u1-u3-u2+u4)= \alpha \cdot 0=0}\)
Czyli wszystkie warunki sa spelnione, a wiec K jest podprzestrzenia V.
Dobrze?
pozdrawiam
\(\displaystyle{ k=(k1,k2,k3,k4)}\)
\(\displaystyle{ k1-k3-k2+k4=0}\)
\(\displaystyle{ m=(m1,m2,m3,m4)}\)
\(\displaystyle{ m1-m3-m2+m4=0}\)
\(\displaystyle{ k+m=(k1+m1,k2+m2,k3+m3,k4+m4)}\)
\(\displaystyle{ (k1+m1) - (k3+m3) - (k2+m2) + (k4+m4)= k1+m1-k3-m3-k2-m2+k4+m4= (k1-k3-k2+k4) + (m1-m3-m2+m4) = 0+0=0}\)
a wiec warunek jest spelniony.
Trzeci warunek
\(\displaystyle{ \alpha \in R}\), \(\displaystyle{ u \in W}\)
\(\displaystyle{ u=(u1,u2,u3,u4)}\)
czy \(\displaystyle{ \alpha u \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha u=( \alpha u1, \alpha u2, \alpha u3, \alpha u4)
\alpha u1- \alpha u3- \alpha u2+ \alpha u4= \alpha (u1-u3-u2+u4)= \alpha \cdot 0=0}\)
Czyli wszystkie warunki sa spelnione, a wiec K jest podprzestrzenia V.
Dobrze?
pozdrawiam