Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
hubator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 14 cze 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe

Post autor: hubator »

Mam następujące zadanie..

W zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych rozpatujemy podzbiory:

\(\displaystyle{ A_{1}= {f:f(0)=1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}= {f:f(1)+f(2)+...f(k)=0}}\)

Zbadać czy \(\displaystyle{ (A_{i},R,+,*)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2}\), gdzie \(\displaystyle{ +}\) oraz \(\displaystyle{ *}\) oznaczają wielomianów i mnożenie wielomianów przez liczbe rzeczywistą, jest przestrzenią wektorową.

Cóż to zadanie to dla mnie jedna wielka zagadka, gdyż niezrozumiała jest dla mnie nawet jego treść. Zadanie to wykracza poza program moich studiów i warte jest trochę punktów. Ktoś wie jak to rozwiązać?
miodzio1988

Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe

Post autor: miodzio1988 »

Punktów? Jakich punktów?

No musisz sprawdzić warunki przestrzeni wektorowej. Problem to?
pipol

Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe

Post autor: pipol »

Zapiszmy pożądnie \(\displaystyle{ A_1 =\{f\in \mathbb{R} [x]:f(0)=1\}.}\) Gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{R} [x]}\) oznacza zbiór wielomianów zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) . Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} [x]}\) tworzy z działaniami dodawania
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (f+g)(x) =f(x)+g(x)}\)
i mnożenia przez skalar
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (c\cdot f)(x) =c\cdot f(x)}\)
rzeczywista przestrzeń liniową.
Na to aby jakikolwiek podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R} [x]}\) tworzył przestrzeń liniową wystarczy aby spełniał dwa poniższe warunki
1) \(\displaystyle{ \forall_{f,g\in A} f+g\in A}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{f\in A}\forall_{c\in \mathbb{R}} c\cdot f\in A}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=x+1, g(x)=x^2+1}\) wtedy \(\displaystyle{ f(0)=g(0)=1}\) więc \(\displaystyle{ f,g\in A_1}\) ale \(\displaystyle{ (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 \neq 1}\) zatem \(\displaystyle{ f+g\notin A_1}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ A_1}\) nie jest przestrzenią liniową.
Zapiszmy porządnie \(\displaystyle{ A_2 =\{f\in\mathbb{R} [x]: f(1)+f(2)+...+f(k)=0\}.}\)
Niech \(\displaystyle{ f,g\in A_2}\) wtedy
\(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\)
\(\displaystyle{ g(1)+g(2)+..+g(k)=0}\)
dodając stronami te dwie powyższe równości otrzymamy
\(\displaystyle{ 0=f(1) +f(2)+...+f(k)+g(1)+g(2)+...+g(k)=(f+g)(1) +(f+g)(2)+...+(f+g)(k)}\)
zatem \(\displaystyle{ f+g\in A_2.}\)
Podobnie niech \(\displaystyle{ c\in\matbb{R}}\) wówczas mnożąc równość \(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\) przez c dostajemy
\(\displaystyle{ (cf)(1)+(cf)(2)+...+(cf)(k)=0.}\)
co oznacza, ze \(\displaystyle{ cf\in A_2}\) zatem \(\displaystyle{ A_2}\) jest rzeczywistą przestrzenią liniową.
ODPOWIEDZ