Mam następujące zadanie..
W zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych rozpatujemy podzbiory:
\(\displaystyle{ A_{1}= {f:f(0)=1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}= {f:f(1)+f(2)+...f(k)=0}}\)
Zbadać czy \(\displaystyle{ (A_{i},R,+,*)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2}\), gdzie \(\displaystyle{ +}\) oraz \(\displaystyle{ *}\) oznaczają wielomianów i mnożenie wielomianów przez liczbe rzeczywistą, jest przestrzenią wektorową.
Cóż to zadanie to dla mnie jedna wielka zagadka, gdyż niezrozumiała jest dla mnie nawet jego treść. Zadanie to wykracza poza program moich studiów i warte jest trochę punktów. Ktoś wie jak to rozwiązać?
Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe
Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe
Punktów? Jakich punktów?
No musisz sprawdzić warunki przestrzeni wektorowej. Problem to?
No musisz sprawdzić warunki przestrzeni wektorowej. Problem to?
Zbiory wielomianów- przestrzenie wektorowe
Zapiszmy pożądnie \(\displaystyle{ A_1 =\{f\in \mathbb{R} [x]:f(0)=1\}.}\) Gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{R} [x]}\) oznacza zbiór wielomianów zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) . Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} [x]}\) tworzy z działaniami dodawania
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (f+g)(x) =f(x)+g(x)}\)
i mnożenia przez skalar
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (c\cdot f)(x) =c\cdot f(x)}\)
rzeczywista przestrzeń liniową.
Na to aby jakikolwiek podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R} [x]}\) tworzył przestrzeń liniową wystarczy aby spełniał dwa poniższe warunki
1) \(\displaystyle{ \forall_{f,g\in A} f+g\in A}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{f\in A}\forall_{c\in \mathbb{R}} c\cdot f\in A}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=x+1, g(x)=x^2+1}\) wtedy \(\displaystyle{ f(0)=g(0)=1}\) więc \(\displaystyle{ f,g\in A_1}\) ale \(\displaystyle{ (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 \neq 1}\) zatem \(\displaystyle{ f+g\notin A_1}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ A_1}\) nie jest przestrzenią liniową.
Zapiszmy porządnie \(\displaystyle{ A_2 =\{f\in\mathbb{R} [x]: f(1)+f(2)+...+f(k)=0\}.}\)
Niech \(\displaystyle{ f,g\in A_2}\) wtedy
\(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\)
\(\displaystyle{ g(1)+g(2)+..+g(k)=0}\)
dodając stronami te dwie powyższe równości otrzymamy
\(\displaystyle{ 0=f(1) +f(2)+...+f(k)+g(1)+g(2)+...+g(k)=(f+g)(1) +(f+g)(2)+...+(f+g)(k)}\)
zatem \(\displaystyle{ f+g\in A_2.}\)
Podobnie niech \(\displaystyle{ c\in\matbb{R}}\) wówczas mnożąc równość \(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\) przez c dostajemy
\(\displaystyle{ (cf)(1)+(cf)(2)+...+(cf)(k)=0.}\)
co oznacza, ze \(\displaystyle{ cf\in A_2}\) zatem \(\displaystyle{ A_2}\) jest rzeczywistą przestrzenią liniową.
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (f+g)(x) =f(x)+g(x)}\)
i mnożenia przez skalar
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}} (c\cdot f)(x) =c\cdot f(x)}\)
rzeczywista przestrzeń liniową.
Na to aby jakikolwiek podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R} [x]}\) tworzył przestrzeń liniową wystarczy aby spełniał dwa poniższe warunki
1) \(\displaystyle{ \forall_{f,g\in A} f+g\in A}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{f\in A}\forall_{c\in \mathbb{R}} c\cdot f\in A}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=x+1, g(x)=x^2+1}\) wtedy \(\displaystyle{ f(0)=g(0)=1}\) więc \(\displaystyle{ f,g\in A_1}\) ale \(\displaystyle{ (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 \neq 1}\) zatem \(\displaystyle{ f+g\notin A_1}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ A_1}\) nie jest przestrzenią liniową.
Zapiszmy porządnie \(\displaystyle{ A_2 =\{f\in\mathbb{R} [x]: f(1)+f(2)+...+f(k)=0\}.}\)
Niech \(\displaystyle{ f,g\in A_2}\) wtedy
\(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\)
\(\displaystyle{ g(1)+g(2)+..+g(k)=0}\)
dodając stronami te dwie powyższe równości otrzymamy
\(\displaystyle{ 0=f(1) +f(2)+...+f(k)+g(1)+g(2)+...+g(k)=(f+g)(1) +(f+g)(2)+...+(f+g)(k)}\)
zatem \(\displaystyle{ f+g\in A_2.}\)
Podobnie niech \(\displaystyle{ c\in\matbb{R}}\) wówczas mnożąc równość \(\displaystyle{ f(1)+f(2)+...+f(k)=0}\) przez c dostajemy
\(\displaystyle{ (cf)(1)+(cf)(2)+...+(cf)(k)=0.}\)
co oznacza, ze \(\displaystyle{ cf\in A_2}\) zatem \(\displaystyle{ A_2}\) jest rzeczywistą przestrzenią liniową.