Wektory i wartości własne, problem z końcówką zadania

[pc]

Mam taką macierz z której muszę wartości i wektory własne obliczyć.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2 && 1 && 1 \\ 1 && 2 && 1 \\ 1 && 1 && 2 \end{bmatrix}}\)
wartości własne mi wyszły \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1 \wedge \lambda_2 = 4}\)

No i teraz dla pierwszej labdy wyszło mi równanie zależne od dwóch zmiennych np.
\(\displaystyle{ x+y+z=0 \\ x=-y-z}\)
Co zrobić dalej, w jaki sposób zapisać to w postaci wektora?

Dla drugiego równania wyszło mi
\(\displaystyle{ x=z \\ y=z}\)
Sprawdziłem 2 razy i chyba też dobrze, w jaki sposób teraz to zapisać w postaci wektora?

edit: dokładnie tak to liczyłem
układ równań:
\(\displaystyle{ -2x+y+z=0 \\
x-2y+z=0 \\
x+y-2z=0}\)
i teraz

\(\displaystyle{ x=2z-y}\) z 3 równania
\(\displaystyle{ 2z-y-2y+z=0}\) podst do 2
\(\displaystyle{ 3z-3y=0}\)
\(\displaystyle{ z-y=0}\)
\(\displaystyle{ y=z}\)
\(\displaystyle{ -2x+z+=0}\) 1 równ
\(\displaystyle{ -2x=-2z}\)
\(\displaystyle{ x=z}\)

[BettyBoo]

Dobrze Ci wyszło w obu przypadkach.

Teraz wystarczy zapisać normalnie rozwiązanie układu równań (zapis w klasycznej postaci możesz pominąć, ja go tu umieściłam tylko dla jasności, Tobie jest potrzeby zapis wektorowy):

\(\displaystyle{ x=-y-z\ \Rightarrow \ \begin{cases}x=-a-b\\ y=a\\z=b\\ a,b\in\mathbb{R}\end{cases}\ \Rightarrow \ \begin{bmatrix} -a-b\\ a\\b\end{bmatrix},\ a,b\in\mathbb{R}}\)

Teraz spróbuj dla drugiego.

Pozdrawiam.

[pc]

aa, czyli to x=y=z=a
czyli będzie taka kolumna
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a \\ a \\ a \end{bmatrix}}\)

i ogólnie zawsze podstawiamy początkowe litery alfabety za parametry tak?

[BettyBoo]

Podstawiasz sobie jakiekolwiek nazwy parametru - ja akurat użyłam początkowych liter, ale to nie obowiązek

Wszystko zależy od tego, jak jest sformułowane pytanie i jak ma wyglądać odpowiedź. To, co zapisaliśmy wyżej to ogólna postać wektorów własnych.

Pozdrawiam.