Baza przestrzeni wektorowych - Sprawdzenie rozwiązania.

[Kramarz]

Witam, mam prośbę aby ktoś sprawdził czy dobrze rozwiązałem zadanie:

Zad.1
Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1=(1,2,1), x_2=(0,1,3), x_3=(1,2,0)}\), tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ (R^3,R,+)}\). Znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ x_4=(0,1,0)}\) względem tej bazy.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} 1&2&1\\0&1&3\\1&2&1\end{array}\right| = 6-1-6=-1 \neq 0}\)

Wektory liniowo niezależne, oraz są 3 w \(\displaystyle{ R^3}\) także tworzą bazę.

\(\displaystyle{ (0,1,0)=a(1,2,1)+b(0,1,3)+c(1,2,0)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=a+c\\1=2a+b+2c\\0=a+3b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a=-c\\1=-2c+b+2c \Rightarrow b=1\\0=a+3 \Rightarrow a=-3\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a=-3\\b=1\\c=3\end{cases}}\)

Względem tej bazy, wetor \(\displaystyle{ x_4}\) ma wspolrzedne \(\displaystyle{ (-3,1,3).}\)

Dziękuje z góry,
Pozdrawiam K.

[BettyBoo]

Dobrze.

Pozdrawiam.

[Kramarz]

Dzięki
Temat do zarchiwizowania dla potomstwa jako przykład rozwiązania