proporcjonalność przekształceń liniowych

[ania8803]

Bardzo proszę o pomoc w dowodzie następującego twierdzenia:

\(\displaystyle{ X}\) – przestrzeń liniowa nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)
\(\displaystyle{ \varphi ,\psi:X \rightarrow K}\) przekształcenia liniowe,
\(\displaystyle{ Ker \varphi =Ker \psi}\) .
Wówczas istnieje \(\displaystyle{ \alpha \in K}\) takie, że \(\displaystyle{ \psi= \alpha \varphi}\).

Przydatne informacje:
Ograniczenie: \(\displaystyle{ \varphi \neq 0}\)
Zał.: \(\displaystyle{ codim Ker \varphi =1}\)
\(\displaystyle{ X=Ker \varphi \oplus Y}\)
\(\displaystyle{ Ker \varphi =\{x \in X: \varphi (x)=0\}}\)
\(\displaystyle{ x \in X}\) da się przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ x=u+v}\), \(\displaystyle{ u \in Ker\varphi}\), \(\displaystyle{ v \in Y}\),
\(\displaystyle{ v= \lambda e}\), \(\displaystyle{ Y=\{ \lambda e: \lambda \in K\}}\)

[Wasilewski]

Te przydatne informacje to już w zasadzie rozwiązanie zadania. Niech \(\displaystyle{ \varphi(e) = a \in K, \psi(e) = b \in K}\) i niech \(\displaystyle{ x \in X}\). Wówczas mamy rozkład:
\(\displaystyle{ x = u+v= u+\lambda e}\).
Wobec tego:
\(\displaystyle{ \varphi(x) = \varphi(u+ \lambda e) = \varphi(u) + \lambda \cdot \varphi(e) = \lambda a \\
\psi(x) =\psi(u+ \lambda e) = \psi(u) + \lambda \cdot \psi(e) = \lambda b}\).
Są zatem proporcjonalne.

[ania8803]

Serdecznie dziękuję za pomoc -- 7 maja 2010, o 17:55 --Tylko skąd teraz wiadomo, że istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha \in K}\), że \(\displaystyle{ \psi(x)= \alpha \cdot \varphi(x)}\)?

[Wasilewski]

Przecież \(\displaystyle{ \psi(x) = \lambda b =\lambda \cdot a \cdot a^{-1}b = \varphi(x) \cdot a^{-1}b}\), czyli \(\displaystyle{ a^{-1}b}\) jest szukanym \(\displaystyle{ \alpha}\). Tak jest w przypadku, gdy te przekształcenia są niezerowe; oczywiście, jak są zerowe, to są też proporcjonalne.

[ania8803]

Czy poniższe rozwiązanie też może być prawidłowe?

Wiemy, że \(\displaystyle{ e \in Y}\).
\(\displaystyle{ \varphi (x)=\lambda \varphi (e)}\)
\(\displaystyle{ \psi (x)=\lambda \psi (e)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \varphi (e)}\), \(\displaystyle{ \psi (e)}\) to niezerowe skalary, to \(\displaystyle{ \psi (e)= \alpha \varphi (e)}\), dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in K}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ \psi (x)= \lambda \psi (e)= \lambda \alpha \varphi (e)= \alpha \lambda \varphi (e)=\alpha \varphi (x)}\).

[Wasilewski]

Tak, ponieważ to dokładnie to samo.

[ania8803]

Dziękuje