Złożenie przekształceń liniowych

[rubik1990]

Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ F,G: \mathbb{R}_{3}[x]\rightarrow\mathbb{R}[x]}\)
\(\displaystyle{ \\F(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, G(x^{3}+x^{2})=x^{3}+x, G(x^{3}+x)=x^{3}+1,G(x^{3}+1)=x^{3}+x^{3}+x^{2}+1, G(x^{3}+x^{3}+x^{2}+1)=0}\) .
Znaleźć macierze \(\displaystyle{ M_{B}^{B}(F\circ G)}\) oraz \(\displaystyle{ M_{B}^{B}(G\circ F)}\) jeśli \(\displaystyle{ B=\{x^{3},x^{3},x^{2},1\}}\).

Czekam na wskazówki. Próbowałem sobie dobrać odpowiednią przejściową bazę (brałem te wektory dla których mam wartości funkcji G ) by zastosować wzór na \(\displaystyle{ M_{B}^{B}(G\circ F)}\), ale zawsze miałem problemy ze znalezieniem odpowiednich macierzy ( bo było coś za dużo kombinowania, a zadanie powinno być proste)

[pyzol]

\(\displaystyle{ G([1,0,0,0])=G(-\frac{1}{2}([1,1,1,1]-[1,0,0,1]-[1,0,1,0]-[1,1,0,0]))=\\
-\frac{1}{2}(G([1,1,1,1])-G([1,0,0,1])-G([1,0,1,0])-G([1,1,0,0]))=\\
-\frac{1}{2}(\vec{0}-[1,1,1,1]-[1,0,0,1]-[1,0,1,0])=-\frac{1}{2}[-3,-1,-2,-2]=...\\
G([0,1,0,0])=G([1,1,0,0]-[1,0,0,0])=[1,0,1,0]-\frac{1}{2}[3,1,2,2]=...\\
G([0,0,1,0])=G([1,0,1,0]-[1,0,0,0])=[1,0,0,1]-\frac{1}{2}[3,1,2,2]=...\\
G([0,0,0,1])=...}\)
Sprawdź rachunki.

[rubik1990]

No właśnie myślałem, że coś takiego ale wydało mi się strasznie upierdliwe. Dzięki