Wyznaczyć jądro przekształcenia liniowego

[som4one]

Witam
Mam macierz przekształcenia liniowego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&5\\2&4&6&10\end{array}\right]}\)
Z tej macierzy mogę wywnioskować, że rząd wynosi 1 wiec wymiar obrazu też jest 1, czyli wymiar jądra będzie 3. Teraz przechodze do wyznaczania jądra. Ponieważ druga linia jest wielokrotnością pierwszej to moge ją pominąć:
\(\displaystyle{ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4} = 0}\)
Wprowadzam parametry i otrzymuje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4} = 0\\x_{2} = t_{1}\\x_{3} = t_{2}\\x_{4} = t_{3} \end{cases}}\)
Po wstawieniu w macierz wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&5\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{array}\right]

\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-2t_{1}-3t_{2}-5t_{3}\\t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{array}\right]

\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}-2t_{1}-3t_{2}-5t_{3}\\t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{array}\right]

ker(\varphi)=Lin((-2,1,0,0),(-3,0,1,0),(-5,0,0,1))}\)
W odpowiedziach natomiast mam:
\(\displaystyle{ ker(\varphi)=Lin((1,2,0,-1),(1,1,-1,0),(2,0,1,-1))}\)
Czy to jest to samo, a jeżeli nie, to czy zrobiłem błąd rachunkowy, czy wybrałem złą metodę?

[erina]

To to samo - pierwszą trójkę wektorów da się przedstawić jako kombinacje drugiej i vice bersa, możesz sprawdzić. Po prostu wyszła Ci inna baza tej przestrzeni.

[som4one]

To dobrze, bo już myślałem, że tego nie czaje. Dzięki wielkie