nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej

ymar · Post autor: **ymar** » 26 kwie 2010, o 15:55

Witam. Mam następujący problem: pamiętam, że rok albo dwa temu poznałem prostą podwójną nierówność pomiędzy normą macierzy i normą macierzy do niej odwrotnej. Potrafię odtworzyć jedną oczywistą nierówność, ale nie mogę ani wymyślić, ani nigdzie znaleźć drugiej (pewnie zresztą równie oczywistej). Swoją drogą, tej pierwszej też nigdzie nie widzę.
Oto ta, którą mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A^{-1}||} \le ||A||}\)
Pamiętam, że jest jakaś druga część, ale nie pamiętam jaka. Dziękuję z góry za pomoc.
PS: oczywiście norma jest taka jak trzeba, żeby się zgadzało.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 26 kwie 2010, o 15:59

Co rozumujhemy przez normę macierzy?

ymar · Post autor: **ymar** » 26 kwie 2010, o 16:04

Przez normę macierzy A rozumiemy supremum po kuli jednostkowej z \(\displaystyle{ ||Ax||}\), gdzie dwie pałki oznaczają zwykłą p-tą normę wektorową.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 26 kwie 2010, o 17:26

ymar · Post autor: **ymar** » 26 kwie 2010, o 21:43

Nie bardzo rozumiem pytanie, więc może napiszę bardziej formalnie o co mi chodzi, żeby nie było wątpliwości.
Niech
\(\displaystyle{ A\,\in\,\mathbb{R}^{n \times n}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ ||A||_p\,=\,\max_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i=1\}}\,\{||Ax||_p\}}\,=\,\sup_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i\le1\}}\,\{||Ax||_p\}}}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 27 kwie 2010, o 14:13

Mi chodzi o zapis \(\displaystyle{ ||Ax||}\) co on oznacza?

ymar · Post autor: **ymar** » 27 kwie 2010, o 19:34

P-tą normę wektora.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 28 kwie 2010, o 09:58

Pomnóż obustronnie przez normę z macierzy odwrotnej.
Teraz by dowieść,że
\(\displaystyle{ 1\le ||A|| \cdot ||A^{-1}||}\). Z dodatniości p-tej normy stwierdzasz,że Iloczyn maksimów równy jest maksimum iloczynu i stosujesz nierównosć Shwartza dla tych maksymalnych norm.Szczegóły

ymar · Post autor: **ymar** » 28 kwie 2010, o 11:19

Zdaje się, że nie przeczytałeś pytania do końca. Nie pytałem o dowód tej nierówności, która jest oczywista. Pytam o drugą nierówność, której nie pamiętam. I nie o dowód tylko o sformułowanie.
PS: Może niesłusznie powiedziałem, że oczywista. Trzeba jednak coś wiedzieć o p-tych normach macierzowych. Mianowicie, że \(\displaystyle{ ||AB||<=||A||||B||}\). Jak się nie wie, faktycznie trzeba przejść przez definicję.

ka_zz · Post autor: **ka_zz** » 6 lut 2013, o 18:26

nie jestem pewny czy o to ci chodzi ale jezeli szukasz \(\displaystyle{ P(||A||)}\) takiego żeby mieć:
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A||} \le ||A^{-1}|| \le P(||A||)}\)
No to raczej bedzie problem bo łatwo widać że dla normy spektralnej (indukowanej przez \(\displaystyle{ l_2}\)) takie ograniczenie z góry nie istnieje.
wystarczy rozpatrzeć dowolną macierz o wartościach szczególnych \(\displaystyle{ s_1 > s_2}\).
Niech \(\displaystyle{ s_1}\) bedzie najwieksza wartoscia szczegolna \(\displaystyle{ A}\) (czyli jej norma spektralna),
a \(\displaystyle{ s_2}\) najmniejsza.
wtedy najwieksza wartoscia szegolna \(\displaystyle{ A^{-1}}\) bedzie \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\).

Jak nie wiesz o czym mowie to poczytaj o rozladzie SVD

Wiec majac tylko norme \(\displaystyle{ A}\) (czyli \(\displaystyle{ s_1}\)) nic nie mozna powiedziec o ograniczeniu z gory normy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) (czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\)) bo \(\displaystyle{ s_2}\) jest niezalezna od \(\displaystyle{ s_1}\) a moze byc dowolnie mala wiec nie postawisz zadnej nierownowsci
\(\displaystyle{ \frac{1}{ s_{2}} \le ?}\)