nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
- ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Witam. Mam następujący problem: pamiętam, że rok albo dwa temu poznałem prostą podwójną nierówność pomiędzy normą macierzy i normą macierzy do niej odwrotnej. Potrafię odtworzyć jedną oczywistą nierówność, ale nie mogę ani wymyślić, ani nigdzie znaleźć drugiej (pewnie zresztą równie oczywistej). Swoją drogą, tej pierwszej też nigdzie nie widzę.
Oto ta, którą mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A^{-1}||} \le ||A||}\)
Pamiętam, że jest jakaś druga część, ale nie pamiętam jaka. Dziękuję z góry za pomoc.
PS: oczywiście norma jest taka jak trzeba, żeby się zgadzało.
Oto ta, którą mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A^{-1}||} \le ||A||}\)
Pamiętam, że jest jakaś druga część, ale nie pamiętam jaka. Dziękuję z góry za pomoc.
PS: oczywiście norma jest taka jak trzeba, żeby się zgadzało.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Przez normę macierzy A rozumiemy supremum po kuli jednostkowej z \(\displaystyle{ ||Ax||}\), gdzie dwie pałki oznaczają zwykłą p-tą normę wektorową.
Ostatnio zmieniony 6 lut 2013, o 20:09 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Nie bardzo rozumiem pytanie, więc może napiszę bardziej formalnie o co mi chodzi, żeby nie było wątpliwości.
Niech
\(\displaystyle{ A\,\in\,\mathbb{R}^{n \times n}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ ||A||_p\,=\,\max_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i=1\}}\,\{||Ax||_p\}}\,=\,\sup_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i\le1\}}\,\{||Ax||_p\}}}\)
Niech
\(\displaystyle{ A\,\in\,\mathbb{R}^{n \times n}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ ||A||_p\,=\,\max_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i=1\}}\,\{||Ax||_p\}}\,=\,\sup_{x\in\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\, \sum_{k=1}^{n}x_i\le1\}}\,\{||Ax||_p\}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Mi chodzi o zapis \(\displaystyle{ ||Ax||}\) co on oznacza?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Pomnóż obustronnie przez normę z macierzy odwrotnej.
Teraz by dowieść,że
\(\displaystyle{ 1\le ||A|| \cdot ||A^{-1}||}\). Z dodatniości p-tej normy stwierdzasz,że Iloczyn maksimów równy jest maksimum iloczynu i stosujesz nierównosć Shwartza dla tych maksymalnych norm.Szczegóły
Teraz by dowieść,że
\(\displaystyle{ 1\le ||A|| \cdot ||A^{-1}||}\). Z dodatniości p-tej normy stwierdzasz,że Iloczyn maksimów równy jest maksimum iloczynu i stosujesz nierównosć Shwartza dla tych maksymalnych norm.Szczegóły
- ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
Zdaje się, że nie przeczytałeś pytania do końca. Nie pytałem o dowód tej nierówności, która jest oczywista. Pytam o drugą nierówność, której nie pamiętam. I nie o dowód tylko o sformułowanie.
PS: Może niesłusznie powiedziałem, że oczywista. Trzeba jednak coś wiedzieć o p-tych normach macierzowych. Mianowicie, że \(\displaystyle{ ||AB||<=||A||||B||}\). Jak się nie wie, faktycznie trzeba przejść przez definicję.
PS: Może niesłusznie powiedziałem, że oczywista. Trzeba jednak coś wiedzieć o p-tych normach macierzowych. Mianowicie, że \(\displaystyle{ ||AB||<=||A||||B||}\). Jak się nie wie, faktycznie trzeba przejść przez definicję.
Ostatnio zmieniony 6 lut 2013, o 20:10 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
nierówność pomiędzy normą macierzy i macierzy odwrotnej
nie jestem pewny czy o to ci chodzi ale jezeli szukasz \(\displaystyle{ P(||A||)}\) takiego żeby mieć:
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A||} \le ||A^{-1}|| \le P(||A||)}\)
No to raczej bedzie problem bo łatwo widać że dla normy spektralnej (indukowanej przez \(\displaystyle{ l_2}\)) takie ograniczenie z góry nie istnieje.
wystarczy rozpatrzeć dowolną macierz o wartościach szczególnych \(\displaystyle{ s_1 > s_2}\).
Niech \(\displaystyle{ s_1}\) bedzie najwieksza wartoscia szczegolna \(\displaystyle{ A}\) (czyli jej norma spektralna),
a \(\displaystyle{ s_2}\) najmniejsza.
wtedy najwieksza wartoscia szegolna \(\displaystyle{ A^{-1}}\) bedzie \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\).
Jak nie wiesz o czym mowie to poczytaj o rozladzie SVD
Wiec majac tylko norme \(\displaystyle{ A}\) (czyli \(\displaystyle{ s_1}\)) nic nie mozna powiedziec o ograniczeniu z gory normy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) (czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\)) bo \(\displaystyle{ s_2}\) jest niezalezna od \(\displaystyle{ s_1}\) a moze byc dowolnie mala wiec nie postawisz zadnej nierownowsci
\(\displaystyle{ \frac{1}{ s_{2}} \le ?}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{||A||} \le ||A^{-1}|| \le P(||A||)}\)
No to raczej bedzie problem bo łatwo widać że dla normy spektralnej (indukowanej przez \(\displaystyle{ l_2}\)) takie ograniczenie z góry nie istnieje.
wystarczy rozpatrzeć dowolną macierz o wartościach szczególnych \(\displaystyle{ s_1 > s_2}\).
Niech \(\displaystyle{ s_1}\) bedzie najwieksza wartoscia szczegolna \(\displaystyle{ A}\) (czyli jej norma spektralna),
a \(\displaystyle{ s_2}\) najmniejsza.
wtedy najwieksza wartoscia szegolna \(\displaystyle{ A^{-1}}\) bedzie \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\).
Jak nie wiesz o czym mowie to poczytaj o rozladzie SVD
Wiec majac tylko norme \(\displaystyle{ A}\) (czyli \(\displaystyle{ s_1}\)) nic nie mozna powiedziec o ograniczeniu z gory normy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) (czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{s_2}}\)) bo \(\displaystyle{ s_2}\) jest niezalezna od \(\displaystyle{ s_1}\) a moze byc dowolnie mala wiec nie postawisz zadnej nierownowsci
\(\displaystyle{ \frac{1}{ s_{2}} \le ?}\)
Ostatnio zmieniony 6 lut 2013, o 20:17 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[late
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach