pierwiastek z macierzy dodatniej
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bartoszyce
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
pierwiastek z macierzy dodatniej
Udowdnij, że dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A}\) dodatniej tj. takiej, której wszystkie wartości własne są dodatnie istnieje dokładnie jedna macierz dodatnia \(\displaystyle{ B}\) taka, że \(\displaystyle{ A=B^2}\). O ile znam dowód dla macierzy dodatnio określonych, o tyle dla dodatnich nie. Wię ktoś może jak to udowodnić albo gdzie można znaleźć dowód tego twierdzenia?
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
pierwiastek z macierzy dodatniej
Dowód jest łatwy po sprowadzeniu danej macierzy do postaci Jordana. Wystarczy wówczas udowodnić twierdzenie dla pojedynczego bloku, czyli dla macierzy skalarnych (jasne) i macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&1&0&0&\ldots&0&0&0\\0&a&1&0&\ldots&0&0&0\\0&0&a&1&\ldots&0&0&0\\0&0&0&a&\ldots&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\ldots&a&1&0\\0&0&0&0&\ldots&0&a&1\end{pmatrix}}\) dla których nietrudno wypisać pierwiastek i udowodnić jego jedyność.
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bartoszyce
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
pierwiastek z macierzy dodatniej
A mógłbyś jakoś tak mniej więcej opisać jak to udowodnić? Bo mi się udaje pokazać to przy założeniu, że ten pierwiastek jest macierzą mającą same zera pod przekątną. A nie mam pojęcia jak pokazać, że ten pierwiastek musi być taką macierzą.