pierwiastek z macierzy dodatniej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
x_x_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bartoszyce
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4 razy

pierwiastek z macierzy dodatniej

Post autor: x_x_x »

Udowdnij, że dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A}\) dodatniej tj. takiej, której wszystkie wartości własne są dodatnie istnieje dokładnie jedna macierz dodatnia \(\displaystyle{ B}\) taka, że \(\displaystyle{ A=B^2}\). O ile znam dowód dla macierzy dodatnio określonych, o tyle dla dodatnich nie. Wię ktoś może jak to udowodnić albo gdzie można znaleźć dowód tego twierdzenia?
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

pierwiastek z macierzy dodatniej

Post autor: xiikzodz »

Dowód jest łatwy po sprowadzeniu danej macierzy do postaci Jordana. Wystarczy wówczas udowodnić twierdzenie dla pojedynczego bloku, czyli dla macierzy skalarnych (jasne) i macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&1&0&0&\ldots&0&0&0\\0&a&1&0&\ldots&0&0&0\\0&0&a&1&\ldots&0&0&0\\0&0&0&a&\ldots&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\ldots&a&1&0\\0&0&0&0&\ldots&0&a&1\end{pmatrix}}\) dla których nietrudno wypisać pierwiastek i udowodnić jego jedyność.
x_x_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bartoszyce
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4 razy

pierwiastek z macierzy dodatniej

Post autor: x_x_x »

A mógłbyś jakoś tak mniej więcej opisać jak to udowodnić? Bo mi się udaje pokazać to przy założeniu, że ten pierwiastek jest macierzą mającą same zera pod przekątną. A nie mam pojęcia jak pokazać, że ten pierwiastek musi być taką macierzą.
ODPOWIEDZ