Błagam o pomoc przy rozwiązaniu tych dwóch równań liniowych. Równania w założeniu zadania mają być rozwiązane na macierzach.
a) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x+3y-z+u=1\\x+y-2u=2\\x-2y-5z=0 \end{array}}\)
b) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-3x+6y-3z=-3\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
Błagam pomóżcie mi to zrobić, bo z całego projektu zostały mi tylko te dwa przykłady do zrobienia, a ja nie wiem jak je rozgryź
układy równań liniowych- rozwiązanie na macierzach
-
miodzio1988
układy równań liniowych- rozwiązanie na macierzach
A problem jest jaki? Do macierzy i jedziesz Gaussem.
Pokaz miejsce w ktorym się zacinasz.
Pokaz miejsce w ktorym się zacinasz.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
układy równań liniowych- rozwiązanie na macierzach
Eliminacja Gaussa nie wymaga użycia macierzy
A tutaj najlepiej zapisać układ równań w postaci macierzowej
obliczyć macierz odwrotną do macierzy głównej układu i pomnożyć przez kolumnę
wyrazów wolnych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x+3y-z+u=1\\x+y-2u=2\\x-2y-5z=0 \end{array}}\)
zapisujesz w postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3&-1 \\ 1&1&0\\1&-2&-5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-u\\ 2+2u\\0 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3&-1&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\1&-2&-5&0&0&1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0&0&-5&17&1\\0&3&0&5&-14&-1\\0&0&3&-3&9&0 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y\\z \end{bmatrix}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -5&17&1\\5&-14&-1\\ -3&9&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1-u\\ 2+2u\\0 \end{bmatrix}}\)
b)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-3x+6y-3z=-3\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
(Wyznacznik macierzy głównej układu wynosi zero ponieważ pierwszy i drugi wiersz jest proporcjonalny)
(Drugi wiersz można otrzymać przez pomnożenie pierwszego przez -3)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-3x+6y-3z=-3\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
zapisujesz w postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2 \\ 2&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-z\\ 3+z \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1&0\\2&3&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 7&0&3&2\\0&7&-2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3&2\\-2&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1-z\\ 3+z \end{bmatrix}}\)
A tutaj najlepiej zapisać układ równań w postaci macierzowej
obliczyć macierz odwrotną do macierzy głównej układu i pomnożyć przez kolumnę
wyrazów wolnych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x+3y-z+u=1\\x+y-2u=2\\x-2y-5z=0 \end{array}}\)
zapisujesz w postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3&-1 \\ 1&1&0\\1&-2&-5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-u\\ 2+2u\\0 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3&-1&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\1&-2&-5&0&0&1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0&0&-5&17&1\\0&3&0&5&-14&-1\\0&0&3&-3&9&0 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y\\z \end{bmatrix}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -5&17&1\\5&-14&-1\\ -3&9&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1-u\\ 2+2u\\0 \end{bmatrix}}\)
b)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-3x+6y-3z=-3\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
(Wyznacznik macierzy głównej układu wynosi zero ponieważ pierwszy i drugi wiersz jest proporcjonalny)
(Drugi wiersz można otrzymać przez pomnożenie pierwszego przez -3)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-3x+6y-3z=-3\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
zapisujesz w postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2 \\ 2&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-z\\ 3+z \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1&0\\2&3&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 7&0&3&2\\0&7&-2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3&2\\-2&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1-z\\ 3+z \end{bmatrix}}\)