Czy ktoś może mi powiedzieć czy dobrze rozumuje w dowodzie wniosku?
Mamy Tw: Poprzestrzeń funkcji prosych Z jest gęsta w \(\displaystyle{ L^2}\).
Wniosek
Jeżeli funkcja charakterystyczna każdego zbioru miary \(\displaystyle{ \mu}\) skończonej jest granicą w \(\displaystyle{ L^2}\) ciągu elementów \(\displaystyle{ W\subset L^2}\), to zbiór W jest liniowo gęsty.
Dowód:Z twierdzenia powyższego mamy, że dla \(\displaystyle{ f\in L^2(\Omega,\mathcal{B},\mu)}\) i \(\displaystyle{ f_{n}\in Z}\) zachodzi:\(\displaystyle{ f=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}}\). Z założenia mamy: \(\displaystyle{ \chi_{\sigma_{i}}=\lim_{k\rightarrow\infty}g_{k}^i}\), gdzie \(\displaystyle{ g_{k}^i\in W}\). Możemy więc dowolną funkcję \(\displaystyle{ \overline{f}}\) prostą przedstwić w postaci: \(\displaystyle{ \overline{f}=\sum_{i=1}^l\alpha_{i}\lim_{k\rightarrow\infty}g_{k}^i=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^l\alpha_{i}g_{k}^i.}\)
Stąd otrzymujemy, że zbiór Z zawiera sie w domknieciu LinW. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K=\overline{LinW}}\). Biorąc domknięcie z obu stron \(\displaystyle{ Z\subset K}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ L^2\subset\overline{K}=K}\)(1) ponieważ K jest już domknięty. Z drugiej strony \(\displaystyle{ W\subset L^2}\), więc \(\displaystyle{ K\subset L^2}\)(2) ponieważ \(\displaystyle{ L^2}\) jest domkniętą przestrzenią liniową. Z (1) i (2) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ L^2=K}\).