Nomenklatura matematyczna

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 17:37

Gdy mamy w układzie kartezjańskich współrzędnych jakiś wektor zaczepiony w początku tegoż układu, czyli: OA to wystarczy że zapiszemy go: A=[3,6], a w jaki sposob mogę zapisać wektor o przykładowych współrzędnych punktu zaczepienia: (3,6) (to jest w punkcie innym od (0,0)) i module w punkcie (mogę tak powiedzieć?): (8,9): AB=? AB=[3,6][8,9]?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 18:15

Wektor to coś jak "odcinek" o zdefiniowanym kierunku. Mając dane punkt początowy A i punkt końcowy B definiujemy wektor \(\displaystyle{ \overrigharrow{AB}}\) jako różnicę po współrzędnych B-A. W tym momencie samo oznaczenie gubi nam informację o punkcie zaczepienia wektora, pozostałe cechy są natomiast w zapisie wektora "po współrzędnych". Domyślnym punktem zaczepienia staje się wtedy właśnie początek układu współrzędnych.

Nigdy nie spotkałem się z zapisem wektora uwzględniającego jego punkt zaczepienia, również w wielu książkach, szczególnie do algebry.

Co do Twojego przykładu, ten moduł ma oznaczać koniec wektora? Proponowany przez Ciebie zapis bardziej odpowiadać może zapisowi odcinka AB.

Ja bym stosował nomenklaturę taką: wektor X zaczepiony w punkcie A. (jego koniec to B)

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 18:26

Hmm, to bardzo dziwne co piszesz, ponieważ w podręczniku do fizyki przeczytałem że np. wektor przemieszenia jest równy różnicy dwóch wektorów wodzących i postanowiłem sobie to udowodnić, ale niestety nie potrafię bez jakiegoś oznaczenia dla wektora nie osadzonego w początku układu współrzędnych, ponieważ wektor przemieszczenia będący różnica dwóch innych nie jest osadzony w początku układu wspolrzednych:/ Mam nadzieję, że pamiętasz ze szkoly takie podstawy i że wiesz o co mi chodzi, a także że mi jakoś pomożesz, lub że ktoś inny będzie potrafił

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 18:33

Nie jest w początku bo jest wektorem zaczepionym. Wiem o co Ci chodzi. Nie jestem filozofem, dla mnie wektor to element przestrzeni wektorowej, natomiast wektor zaczepiony to element przestrzeni afinicznej

Właśnie, afinicznej. Nieważne co to jest. Ważne, że wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{X}}\) zaczepiony w punkcie A można zapisać jako \(\displaystyle{ A+\overrightarrow{X}}\). Myślę, że to wyjaśni wszystko Po prostu dodajesz do punktu zaczepienia wektor i już. Oczywiście dalej jest to rozumiany przez Ciebie wektor.

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 18:36

Hmm, nie rozumiem dlaczego wystarczy dodać wektor do punktu zaczepienia, ale domyślam się, że nie muszę tego rozumieć żeby poprawnie się tym sposobem posługiwać? I to mi wystarczy do udowodnienia rownania, o którym Ci wspomniałem?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 18:46

Żeby poprawnie wykonywać wszelkie operacje na wektorach wystarczy zaczepić je w początku. Są oczywiście wzory na dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez stałą (zaczepionych)
\(\displaystyle{ (a+A)+(b+B)=a+A+B\\
c\cdot (a+A)=a+cA}\)
a,b punkty zaczepienia wektorów odpowiednio A i B.
Uwaga: kolejność dodawania wektorów jest oczywiście istotna, dlatego będą różne punty zaczepienia w zależności od kolejności dodawania.

Co do zadania: wektor zaczepiony w \(\displaystyle{ A=(3,6)}\) i końcu \(\displaystyle{ (8,9)}\)
Najpierw wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=[8-3,9-6]=[5,3]}\) (oczywiście powinien być zapis kolumnowy ale wiadomo o co chodzi)
Teraz wektor zaczepiony:
\(\displaystyle{ (3,6)+[5,3]}\)

Tylko jedna uwaga: być może wprowadziłem tu małe zamieszanie. Nie jestem do końca przekonany co do swoich racji. Być może mylę tu pewne pojęcia. Dlatego druga część tego posta i poprzedni mogą nie być poprawne formalnie. Dobrze by było, gdyby ktoś to przeczytał i się zastanowił, czy nie pletę bzdur.

Vangelis · Post autor: **Vangelis** » 20 kwie 2010, o 19:42

yorgin pisze: Właśnie, afinicznej. Nieważne co to jest. Ważne, że wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{X}}\) zaczepiony w punkcie A można zapisać jako \(\displaystyle{ A+\overrightarrow{X}}\)

Niestety, to co napisałeś to nie jest wektor, tylko pewien punkt, a konkretnie taki punkt \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{X}}\). Wektor wyznaczony przez parę punktów \(\displaystyle{ P, Q}\) oznacza się po prostu jako \(\displaystyle{ \omega (P,Q)}\), albo - w przestrzeniach \(\displaystyle{ \mathbb{R}^N}\) jako \(\displaystyle{ \overrightarrow{PQ}}\). Należy jednak zaznaczyć, że jeden wektor może być wyznaczony przez więcej niż jedną parę punktów (i na ogół tak jest). Np. para \(\displaystyle{ \big( (0,1), (0,3) \big)}\) wyznacza dokładnie ten sam wektor co para \(\displaystyle{ \big( (2,8), (2,10)\big)}\), mianowicie wektor \(\displaystyle{ [0,2]}\).

yorgin pisze: \(\displaystyle{ (a+A)+(b+B)=a+A+B\\
c\cdot (a+A)=a+cA}\)

Nie wiem, skąd to wziąłeś, ale wyrażenia po lewej stronie obu równości nie mają sensu (suma punktów i mnożenie punktu przez skalar?!).

Działania na punktach są w przestrzeniach afinicznych definiowane tylko dla niektórych układów, dlatego np. zapis \(\displaystyle{ \frac{1}{2} P + \frac{1}{4}Q + \frac{1}{4}R}\) ma sens, ale już np. zapis \(\displaystyle{ P + Q}\) jest pozbawiony sensu.

No offence, rzecz jasna; reszta tego co napisałeś jest na moje oko w porządku.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 20:04

Faktycznie wektor + punkt daje punkt

A te wzory - mogłem coś pokręcić z własnościami elementów przestrzeni afinicznych - od 3 lat nie bawiłem się tym.

Niemniej dzięki za uświadomienie. Człowiek uczy się całe życie

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 21:07

Dziękuję Wam obu, mimo to: czy możecie mi polecić jakąś książkę do rachunku wektorowego (tensory i inne cuda nie widy nie są mi potrzebne), ponieważ planuję w przyszlym roku zdawac maturę z fizyki i chociaż moj nauczyciel twierdzi, ze az taka matematyzacja nie jest potrzebna, ja uważam, że pewne zjawiska lepiej zrozumiem, jezeli go opanuję.

Vangelis · Post autor: **Vangelis** » 20 kwie 2010, o 22:10

... calki.html - powinno być w sam raz

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 22:14

Dzięki! Faktycznie wyglada na to, że mi się przyda.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 22:16

Mogę jutro napisać, co w niej jest o wektorach, pod warunkiem że nie zniknęła z kiosku u mnie na wydziale

Piotru? Pan · Post autor: **Piotru? Pan** » 20 kwie 2010, o 22:23

To super. Przede wszystkim napisz, czy jest to prosto wyłożone, czy nie zostalo przedstawione na kilku stronach.-- 24 kwi 2010, o 23:30 --Odświeżam. Czytam właśnie zamkorski podręczni do fizyki, rachunek tensorowy. Paragraf o mnożeniu wektorowym wektorów, zaczyna się tekstem: zauważmy najpierw że iloczyn wersorów i i j wynosi k. Tak po prostu jakby to było oczywiste. Dla mnie to nie jest oczywiste. Czy możecie mi to łopatologicznie wytłumaczyć?