Witam. Mam kłopot z takim zadaniem:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) są izomorficzne przestrzenie ortogonalne \(\displaystyle{ (\mathbb{R}^4, \xi)}\) i \(\displaystyle{ (\mathbb{R}^4, \eta)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ q_{\xi} \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \end{array} \right] \right) = 2xt + 2yz}\)
\(\displaystyle{ q_{\eta} \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \end{array} \right] \right) = (1+a+a^2+a^3+a^4+a^5)x^2 + (1+a)y^2 + 2(1+a+a^2+a^3)xy + 2(1+a)xz + 2xt + 2yz?}\)
Po zapisaniu tego w postaci macierzowej i skorzystaniu z definicji izomorfizmu przestrzeni ortogonalnych, dochodzę do tego, że musi istnieć macierz odwracalna \(\displaystyle{ M}\) taka, że:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = M^{\mathrm{T}} \left[ \begin{array}{cccc} 1+a+a^2+a^3+a^4+a^5 & 1+a+a^2+a^3 & 1+a & 1 \\ 1+a+a^2+a^3 & 1+a & 1 & 0 \\ 1+a & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] M}\)
I co teraz?