Znajdź dopełnienie ortogonalne

[act]

Macierz funkcjonału dwuliniowego \(\displaystyle{ \xi: \mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}}\) w bazie \(\displaystyle{ (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}, \varepsilon _{1}+\varepsilon _{3}, \varepsilon _{3})}\) jest równa \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}}\). Znajdź dopełnienie ortogonalne:

a) wektora \(\displaystyle{ [1,2,0] ^{T}}\),
b) podprzestrzeni \(\displaystyle{ lin([1,1,1] ^{T} )}\),
c) podprzestrzeni \(\displaystyle{ Sol(X-Z=0)}\).

Z dopełnieniami sobie poradzę, ale mam problem z wyznaczeniem wzoru funkcjonału. Jak to zrobić przy pomocy tych danych?

[Vangelis]

\(\displaystyle{ \xi ([x_1, x_2, x_3]^{\mathrm{T}}, [y_1, y_2, y_3]^{\mathrm{T}}) = [x_1, x_2, x_3] M_{\xi} (\mathrm{E}) [y_1, y_2, y_3]^{\mathrm{T}}}\)

Trzeba jeszcze wyznaczyć \(\displaystyle{ M_{\xi}(\mathrm{E})}\). Ze wzoru (podstaw bazę standardową za \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) i bazę z zadania za \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)):

\(\displaystyle{ M_{\xi}(\mathcal{B}) = M^{\mathrm{T}}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) M_{\xi}(\mathcal{A}) M(\mathcal{A}, \mathcal{B})}\)