dopelnienie algebraiczne

[trawa696]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R[X]_{n}}\) iloczyn skalarny wielomianow \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) okreslono w nastepujacy sposob: \(\displaystyle{ (f|g)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}}\), gdzie: \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \; g(x)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}\).
Znalezc dopelnienie ortogonalne:
a) podprzestrzeni wielomianow dla ktorych \(\displaystyle{ f(1)=0}\)
b) podprzestrzeni wszystkich wielomianow stopni parzystych z przestrzeni \(\displaystyle{ R[X]_{n}}\)

odp:
a) jednowymiarowa podprzestrzen wielomianow o jednakowych wspolczynnikach
b) podprzestrzen wszystkich wielomianow stopni nieparzystych

bylbym bardzo wdzieczny za kazda pomoc w rozwiazaniu tego zadania

[yorgin]

Wskazówki:

1. \(\displaystyle{ f(1)=0}\) oznacza, że suma współczynników ma być równa 0. Teraz zauważ że wielomian, którego wszystkie współczynniki są identyczne, jest prostopadły do danej przestrzeni. Zastanów się co się stanie, gdy któryś ze współczynników jednak będzie różny od pozostałych. Może uda się znaleźć wtedy wielomian o sumie współczynników równej 0, taki że iloczyn skalarny się nie wyzeruje.

2. Jeśli wielomian ma przy parzystej potędze niezerowy współczynnik to czy może być prostopadły do przestrzeni wielomianów parzystych? A może wyjdź od tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}[X]=P[X]+NP[X]}\), NP- nieparzyste wielomiany, P -parzyste.

[trawa696]

Teraz zauważ że wielomian, którego wszystkie współczynniki są identyczne, jest prostopadły do danej przestrzeni.

mozesz rozwiniac to zdanie?

[yorgin]

Najpierw fakt, że wielomian o równych współczynnikach jest ortogonalny:

Niech więc \(\displaystyle{ f\in A=\{f: f(1)=0\}}\) oraz weźmy \(\displaystyle{ g(x)=ax^n+ax^{n-1}+\ldots+ax+a}\)
Teraz iloczyn skalarny: (\(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0}\))
\(\displaystyle{ <f,g>=a\cdot a_n+a\cdot a_{n-1}+\ldots+a\cdot a_n+a\cdot a_0=a(a_n+\ldots+a_1+a_0)=a\cdot f(1)=0}\)

Aby pokazać, że innych nie ma w dopełnieniu, załóżmy, że pewne współczynniki są różne dla wielomianu z \(\displaystyle{ A^{\perp}}\) tzn dla pewnych \(\displaystyle{ m\neq n: a_m\neq a_n}\) i oba współczynniki są niezerowe. Definiujemy \(\displaystyle{ f(x)=x^m-x^n\in A}\)
Wtedy iloczyn skalarny wychodzi \(\displaystyle{ a_m-a_n\neq 0}\).