praca naukowa1

[pikra]

Aby udowodnić, że wektory \(\displaystyle{ v,(T- \alpha I)v,(T- \alpha I)^{2}v,(T- \alpha I)^{k-1}v}\) są liniowo niezależne, załóżmy że \(\displaystyle{ a _{0},...,a _{k-1}}\) są zespolonymi liczbami takimi, że \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\). Zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron powyzszego równania dostaniemy wówczas SKĄD ??\(\displaystyle{ a _{0} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\), co implikuje, że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\). Nastepnie zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-2}}\) do obu stron równania \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\), otrzymujemy SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{1} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\) z czego wnioskujemy że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\). Kontynuując to rozumowanie widzimy że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{j}=0}\) dla poszczególnych \(\displaystyle{ j}\).

z pracy naukowej ;/ może ktoś pomoże rozpisać ten częsciowy dowodzik????

[Qń]

Aby udowodnić, że wektory \(\displaystyle{ v,(T- \alpha I)v,(T- \alpha I)^{2}v,(T- \alpha I)^{k-1}v}\) są liniowo niezależne

Nie podałeś istotnej informacji, tzn. tej, że \(\displaystyle{ k}\) jest najmniejszą taką liczbą, że \(\displaystyle{ (T-\alpha I )^k v = \vec{0}}\). W myśl tego oczywiste jest...

Zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron powyzszego równania dostaniemy wówczas SKĄD ??\(\displaystyle{ a _{0} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\)

...że wszystkie pozostałe składniki się wyzerują, bo w nich \(\displaystyle{ (T- \alpha I)}\) będzie w potędze (iteracji) nie mniejszej niż \(\displaystyle{ k}\).

co implikuje, że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\).

Jeśli iloczyn skalara przez niezerowy wektor daje wektor zerowy, to ten skalar musi być zerem.

Dalej analogicznie.

Q.

[pikra]

chodzi poprostu o rozpisanie jesli dodamy do obu stron to jaka to będzie postać tak do całości ;/

[Qń]

Wybacz, ale nic nie zrozumiałem z Twojej wypowiedzi.

Q.

[pikra]

na przykład jesli zastosujemy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\) to jak to rownanie teraz będzie miało postać?? i tak dalej

[Qń]

Po lewej stronie mamy sumę wektorów, jeśli mnożymy całość przez macierz, to każdy wektor z osobna mnożymy przez tę macierz.

Q.