Aby udowodnić, że wektory \(\displaystyle{ v,(T- \alpha I)v,(T- \alpha I)^{2}v,(T- \alpha I)^{k-1}v}\) są liniowo niezależne, załóżmy że \(\displaystyle{ a _{0},...,a _{k-1}}\) są zespolonymi liczbami takimi, że \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\). Zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron powyzszego równania dostaniemy wówczas SKĄD ??\(\displaystyle{ a _{0} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\), co implikuje, że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\). Nastepnie zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-2}}\) do obu stron równania \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\), otrzymujemy SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{1} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\) z czego wnioskujemy że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\). Kontynuując to rozumowanie widzimy że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{j}=0}\) dla poszczególnych \(\displaystyle{ j}\).
z pracy naukowej ;/ może ktoś pomoże rozpisać ten częsciowy dowodzik????
praca naukowa1
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
praca naukowa1
Nie podałeś istotnej informacji, tzn. tej, że \(\displaystyle{ k}\) jest najmniejszą taką liczbą, że \(\displaystyle{ (T-\alpha I )^k v = \vec{0}}\). W myśl tego oczywiste jest...pikra pisze:Aby udowodnić, że wektory \(\displaystyle{ v,(T- \alpha I)v,(T- \alpha I)^{2}v,(T- \alpha I)^{k-1}v}\) są liniowo niezależne
...że wszystkie pozostałe składniki się wyzerują, bo w nich \(\displaystyle{ (T- \alpha I)}\) będzie w potędze (iteracji) nie mniejszej niż \(\displaystyle{ k}\).Zastosujmy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron powyzszego równania dostaniemy wówczas SKĄD ??\(\displaystyle{ a _{0} (T- \alpha I)^{k-1}v=0}\)
Jeśli iloczyn skalara przez niezerowy wektor daje wektor zerowy, to ten skalar musi być zerem.co implikuje, że SKĄD?? \(\displaystyle{ a _{0}=0}\).
Dalej analogicznie.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 19 cze 2009, o 00:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
praca naukowa1
na przykład jesli zastosujemy \(\displaystyle{ (T- \alpha I)^{k-1}}\) do obu stron \(\displaystyle{ a _{0}v+a _{1} (T- \alpha I)v+...+a _{k-1}(T- \alpha I)^{k-1}v=0}\) to jak to rownanie teraz będzie miało postać?? i tak dalej