rozwiazac rownanie macierzowe

[kojak]

Witam, miałem koło i go niestety nie zaliczylem, wiec sie ucze na poprawe i mam pare pytan do nastepujących przykladów (wiem, ze to sa prymitywne pytania, lecz chcę otrzymac jasna i prostą odpowiedz )

Rozwiaż równanie macierzowe:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]X\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&6\\1&4\end{array}\right]}\)

Ja to rozwiązałem następująco:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]}\)
det(A)=-1
\(\displaystyle{ A^d=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} =\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ X\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&6\\1&4\end{array}\right]}\)

czyli
\(\displaystyle{ X\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&4\\1&6\end{array}\right]}\)

następnie policzyłem
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]}\)
det(B)=-1
\(\displaystyle{ B^d=\left[\begin{array}{cc}1&1\\3&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B^{-1} =\left[\begin{array}{cc}-1&-3\\-1&-2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ XBB^{-1}=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ XI=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}}\)

czyli
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}1&4\\1&6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&-3\\-1&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5&-11\\-7&-15\end{array}\right]}\)

i pytanie brzmi: Czy wynik i moje rozumowanie jest poprawne, ponieważ sprawdzający dał mi za to 0,5pkt /2 pkt. Uzasadnił to tym, że w zapisie:

\(\displaystyle{ XBB^{-1}=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ XI=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}}\)


pominąłem macierz A. Co prawda jest to moze nieprecyzyjny zapis, ale macierz A została "wyeliminowana" przez macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) na samym początku rozwiąznia, czyli w tej linijce:

\(\displaystyle{ X\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&6\\1&4\end{array}\right]}\)

czyli
\(\displaystyle{ X\left[\begin{array}{cc}2&-3\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&4\\1&6\end{array}\right]}\)



pytanie nr 2:

mam układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} X+ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right]Y=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}3&1\\1&1\end{array}\right]X+Y=\left[\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right] \end{cases}}\)

Aby rozwiązać ten układ muszę pomnożyć pierwsze rówanie przez \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right] ^{-1}}\) a nastepnie odjąć stronami?

z góry dziekuję za zainteresowanie;) pozdrawiam Damian

[BettyBoo]

Zapis jest nieprecyzyjny (pomijasz opis pierwszego działania, a drugie, które jest analogiczne, rozpisujesz bardzo dokładnie - dla mnie to wygląda nieco dziwnie ponadto używasz oznaczeń, których nie definiujesz - mowa o macierzy \(\displaystyle{ C}\)) no i pomyliłeś się przy obliczaniu iloczynu - powinno być \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&4\\2&6\end{array}\right]}\). Natomiast reszta (czyli konkretna punktacja) zależy od tego, jakie kryteria oceny przyjmuje Twój sprawdzający.


Co do drugiego zadania - możesz zrobić np. tak, jak piszesz. Możesz też zastosować metodę podstawiania - np wyznaczyć \(\displaystyle{ X}\) z pierwszego równania i wstawić do drugiego.

Pozdrawiam.

[kojak]

czyli lepiej jakbym napisał w ten sposób:

\(\displaystyle{ AXB=C}\)
\(\displaystyle{ A ^{-1} AXBB ^{-1} =A ^{-1} C B ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A ^{-1} C B ^{-1}}\) ?

Bo chciałem tak zapisac tylko nie bylem pewien jak wymnożyc trzy macierze czyli to: \(\displaystyle{ A ^{-1} C B ^{-1}}\). Mnoży sie to tak, ze najpierw wymnazam \(\displaystyle{ A ^{-1} C}\) a pozniej ta macierz co mi wyjdzie to jeszcze wymnożyc przez \(\displaystyle{ B ^{-1}}\)?-- 14 kwietnia 2010, 12:23 --wiem, ze banalne nia zadaje

[BettyBoo]

Mnożenie macierzy jest łączne co oznacza, że nie ma znaczenia które dwie najpierw wymnożysz (o ile oczywiście nie zmienisz kolejności, bo akurat przemienności nie ma ).

Pozdrawiam.

[kojak]

dziekuje slicznie;)