obliczyć wyznacznik

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 19:51

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}5&(-6)&7&11\\-3&5&(-4)&6\\5&(-1)&(-2)&9\\5&10&(-7)&8\end{array}\right|}\)
Jak doprowadzić tą macierz żeby było jak najwięcej zer w kolumnie/wierszu?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 13 kwie 2010, o 19:53

operacje elementarne na wierszach/kolumnach

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 19:58

cały czas sie zastanawiam co od czego dodać/odjąć, może ktoś podpowiedzieć?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 13 kwie 2010, o 20:08

W pierwszej kolumnie masz trzy 5, jedną z nich możesz zzerować dwie pozostałe.

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 20:23

nie rozumiem :/ wiadomo mi że od kolumny można odjąć lub dodać tylko inną kolumnę z tej samej macierzy, czy jest inaczej?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 13 kwie 2010, o 20:34

Mi chodziło o operacje
w3-w1
w4-w1

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 22:13

a taka macierz:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^3&b^3&c^3&d^3\end{array}\right|}\)
da się coś wyzerować?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 13 kwie 2010, o 22:24

jak najbardziej, np. 1 kolumnę

\(\displaystyle{ w_{2}-a \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{3}-a^2 \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{4}-a^3 \cdot w_{1}}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 kwie 2010, o 22:31

Przy okazji, ten ostatni wyznacznik to w szczególności tzw wyznacznik Vandermonde'a. Liczy się go wzorem
\(\displaystyle{ \prod\limits_{1\leq i<j\leq j}(a_j-a_i)}\)
jeśli oznaczymy literki jako \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4}\)

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 22:47

agulka1987 pisze:jak najbardziej, np. 1 kolumnę

\(\displaystyle{ w_{2}-a \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{3}-a^2 \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{4}-a^3 \cdot w_{1}}\)

a czy tam gdzie jest \(\displaystyle{ a, a^2, a^3}\) można podstawiać dowolne liczby? wiem że w tym przypadku akurat te najlepiej pasują ale pytam teoretycznie.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 kwie 2010, o 22:49

\(\displaystyle{ a}\) jest liczbą wziętą z wyznacznika, który podałeś. Jest to pewna liczba (może bardziej - parametr) bez konkretnej wartości.

lofi · Post autor: **lofi** » 13 kwie 2010, o 23:02

ok ale gdybym zrobił tak:
\(\displaystyle{ w_{2}-5 \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{3}-a^9 \cdot w_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{4}-2 \cdot w_{1}}\)
to byłby błąd?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 kwie 2010, o 13:02

lofi,

Możesz też w ten sposób

1. Szukasz w kolumnie największego elementu co do wartości bezwzględnej
i jeżeli znajdziesz to zamieniasz wiersze
(musisz pamiętać ile razy zamieniałeś wiersze ponieważ pozwoli to Tobie ustalić znak wyznacznika)
Jeżeli nie znajdziesz w kolumnie największego elementu co do wartości bezwzględnej i
element na głównej przekątnej jest równy zero to wyznacznik jest równy zero
2. Pierwszy wiersz przepisujesz bez zmian a pierwszą kolumnę dzielisz przez największy elementu co do wartości bezwzględnej
3. Dla pozostałych elementów macierzy obliczasz uzupełnienie Schura

\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1} \cdot a_{1j}}\)

\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right)^{p} \prod_{i=1}^{n}lu_{ii}}\)

LU - macierz rozkładu
p - licznik zamian wierszy

Zajrzyj na ważniaka tam jest lepiej objaśniony rozkład LU
którego możesz użyć do obliczania wyznacznika
(jeden z prostszych rozkładów)

Co do tego wyznacznika to możesz wyzerować dwie piątki z pierwszej kolumny
jak radzi Nakahed90,
Korzystając z rozwinięcia Laplace dostaniesz dwa wyznaczniki trzeciego stopnia