wektory własne, wartości własne, forma kanoniczna, warstwy

[samara01]

Zad1.
Znajdź wektory własne, wartości własne endomorfizmu \(\displaystyle{ f:R^{2} \xrightarrow{na} R^{2}}\) określonego \(\displaystyle{ f(x,y)=(4x+y, 12x+5y)}\)

Zad 2.
Sprowadź do postaci kanonicznej, znajdź bazę kanoniczną dla formy, która w pewnej bezie \(\displaystyle{ \lbrace e_1,e_2,e_3 \rbrace}\) ma postać:
\(\displaystyle{ F(x)=2x^{2}_{1}+3x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+3x_{2}x_{3}}\)

Zad 3.
zortogonalizuj układ (zortonormalizuj) w przestrzeń \(\displaystyle{ R^{2}}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ ((x_{1}, x_{2}),(y_{1},y_{2}))=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}}\)

Zad 4.
\(\displaystyle{ W=\lbrace (x,y) \in R^{2} : x+4y=0 \rbrace}\)
a)opisz warstwy
b) znajdź bazę \(\displaystyle{ R^{2} \backslash W}\)
c)przedstaw wektor \(\displaystyle{ [(5,7)] \in R^{2} \backslash W}\) jako kombinację wektorów bazy
d) pokaż, że \(\displaystyle{ R^{2} \backslash W}\) homomorficzne z \(\displaystyle{ R}\)