potęgowanie macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
lofi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 9 lut 2009, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: lofi »

Jak obliczyć:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-3\\2&-2\end{array} \right]^n}\)

edit. nikt nie wie?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: »

Wskazówka - zdiagonalizuj tę macierz, tzn. zapisz ją w postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-3\\2&-2\end{array} \right] =
C^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\lambda_1&0\\ 0& \lambda_2\end{array} \right] C}\)


Wówczas:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-3\\2&-2\end{array} \right]^n =
C^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\lambda_1^n&0\\ 0& \lambda_2^n\end{array} \right] C}\)


Q.
Awatar użytkownika
lofi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 9 lut 2009, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: lofi »

ok, a jakimś innym sposobem? na przykład przez policzenie tej macierzy dla n=2, 3, 4 a potem na podstawie tego zauważyć jak obliczyć tą macierz do potęgi n? tylko nie wiem jak policzyć dla kilku n tak żeby można było zauważyć jakąś zależność..
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: erina »

Jest to jakaś opcja, jeśli diagonalizacji nie było. Jak policzyć dla kilku n? Tak zwyczajnie, z mnożenia macierzy...
\(\displaystyle{ A^2=A*A=\begin{bmatrix}10&6\\4&-2\end{bmatrix}}\) (o ile się nie pomyliłam)
\(\displaystyle{ A^3=A^2*A=\begin{bmatrix}52&-48\\12&-8\end{bmatrix}}\) (jw.) itd.
Hmm... diagonalizacją chyba prościej i wygodniej.

PS: A po co to obliczasz, tak w ogóle?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: »

lofi pisze:tak żeby można było zauważyć jakąś zależność..
Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1 + \sqrt{3} , \lambda_2 = 1-\sqrt{3}}\) - byłbym naprawdę pełen podziwu dla kogoś, kto bez rachunków odgadłby wzór na podstawie paru początkowych \(\displaystyle{ n}\).

Q.
Awatar użytkownika
lofi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 9 lut 2009, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: lofi »

czyli byłoby ciężko tym sposobem? to mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić przez zdiagonalizowanie? nie wiem na czym to polega więc prosiłbym o rozwiązanie tego przykładu który podałem z jakimiś wyjaśnieniami obok.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: »

Nie słyszałeś nigdy o wartościach własnych i wektorach własnych?

Q.
Awatar użytkownika
lofi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 9 lut 2009, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: lofi »

no niestety :/ mam takie zadanie i nie wiem jak to zrobić skoro ten sposób który ja podałem nie jest najlepszy, nawet próbowałem i rzeczywiście trudno mi cokolwiek zauważyć...
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

potęgowanie macierzy

Post autor: »

Nie podejmuję się wyłożyć Ci na forum całej teorii - proponuję Ci zajrzeć do książek, względnie poszukać w googlach czegoś o diagonalizacji.

Q.
ODPOWIEDZ