izometria liniowa
-
pipol
izometria liniowa
Niech \(\displaystyle{ (X, p), (Y, q)}\) będą przestrzeniami metrycznymi i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie izometrią wówczas odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ f^{-1} : Y \rightarrow X}\) też jest izometrią.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ u,v\in Y}\) wówczas \(\displaystyle{ u=f(x) , v=f(y)}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) a zatem \(\displaystyle{ f^{-1} (u) =x, f^{-1} (v) =y}\) mamy więc
\(\displaystyle{ p(f^{-1} (u) , f^{-1} (v) ) =p(x,y) =q(f(x) ,f(y) ) =q(u,v)}\)
co kończy dowód.
Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) a \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) liniową bijekcją. Wówczas \(\displaystyle{ f^{-1} :Y \rightarrow X}\) jest odwzorowaniem liniowym.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \alpha ,\beta \in\mathbb{K}}\) i niech \(\displaystyle{ u,v\in Y}\) wówczas \(\displaystyle{ u=f(x) , v=f(y)}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) a zatem \(\displaystyle{ f^{-1} (u) =x, f^{-1} (v) =y}\) .
Mamy \(\displaystyle{ f^{-1} (\alpha u +\beta v ) =f^{-1} (\alpha f(x) + \beta f(y) ) =f^{-1} (f(\alpha x +\beta y)) =\alpha x +\beta y =\alpha f^{-1} (u) +\beta f^{-1} (v)}\)
co kończy dowód.
Połącz teraz te dwa fakty a otrzymasz tezę.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ u,v\in Y}\) wówczas \(\displaystyle{ u=f(x) , v=f(y)}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) a zatem \(\displaystyle{ f^{-1} (u) =x, f^{-1} (v) =y}\) mamy więc
\(\displaystyle{ p(f^{-1} (u) , f^{-1} (v) ) =p(x,y) =q(f(x) ,f(y) ) =q(u,v)}\)
co kończy dowód.
Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) a \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) liniową bijekcją. Wówczas \(\displaystyle{ f^{-1} :Y \rightarrow X}\) jest odwzorowaniem liniowym.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \alpha ,\beta \in\mathbb{K}}\) i niech \(\displaystyle{ u,v\in Y}\) wówczas \(\displaystyle{ u=f(x) , v=f(y)}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) a zatem \(\displaystyle{ f^{-1} (u) =x, f^{-1} (v) =y}\) .
Mamy \(\displaystyle{ f^{-1} (\alpha u +\beta v ) =f^{-1} (\alpha f(x) + \beta f(y) ) =f^{-1} (f(\alpha x +\beta y)) =\alpha x +\beta y =\alpha f^{-1} (u) +\beta f^{-1} (v)}\)
co kończy dowód.
Połącz teraz te dwa fakty a otrzymasz tezę.