Macierzowy ( prosty zapewne ) problem

[Delvier]

1)Wyznaczyc macierz X

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&1\\0&3\end{array}\right] * X - 2X = ft[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)

2) Obliczyc wyznacznik macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&w&w^{2}\\1&w^{2}&w\end{array}\right]}\)

3) wyznaczyc macierz przeciwna

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&4\\3&4&1\end{array}\right]}\)

[nimdil]

3) jest łatwe - macierze kwadratowe tworzą pierścień więc macierz przeciwna to macierz ze wszystkimi komórkami mającymi wartość przeciwną: -1, -2, -3, -2, -3, -4, -3, -4, -1 (czytając wierszami). Sprawdź czy nie chodzi o macierz odwrotną :>

2) korzystając z rozwinięcia Laplace'a wyznacznik tej macierzy to:
\(\displaystyle{ w^2-w^4-(w-w^2)+(w^2-w)=w^2-w^4-w+w^2+w^2-w=-w^4+3w^2-2w}\)

Rozwijam względem pierwszego wiersza (np. ; względem 1 kolumny jest to samo).

1) Na moje oko X jest wektorem \(\displaystyle{ [x_1,x_2]}\). Otrzymamy układ:

\(\displaystyle{ 3x_1+x_2-2x_1=1}\)

\(\displaystyle{ 3x_2-2x_2=1}\)

Wyliczając z drugiego równania mamy: \(\displaystyle{ x_2=1}\) a podstawiając do pierwszego mamy, że \(\displaystyle{ 2x_1+1=1 \ \Rightarrow \ x_1=0}\). Zdaje się, że błędu nie popełniłem.

[Calasilyar]

2) korzystając z rozwinięcia Laplace'a wyznacznik tej macierzy to:
\(\displaystyle{ w^2-w^4-(w-w^2)+(w^2-w)=w^2-w^4-w+w^2+w^2-w=w^4+3w^2-2w}\)

a czy nie jest:
\(\displaystyle{ w^2-w^4-w+w^2+w^2-w=-w^4+3w^2-2w}\)

[nimdil]

Słusznie, standardowe zgubienie minusa :>

[Calasilyar]

nie to, że się czepiam tylko tak gwoli poprawności

[Delvier]

3 ) ...ups pomylilem sie z rozpedu w trzecim chodzi o macierz odwrotna )

Ps. Dzieki za dotychczasowe rozwiazania

[ Dodano: 12 Październik 2006, 01:58 ]

1) Na moje oko X jest wektorem ... Otrzymamy układ:

Nidl a moglbys wyjasnic jak zobaczyc ( na oko ; ) ) albo przeksztalcic to w sposob jakis bardziej dla mnie widoczny np. podstawiajac jakies macierze A i B mnozac obustronie przez odwrotny do A itp. bo tak na wykladzie koles robil ale nie potrafie " zmalpowac " tego w tym przykladzie . Z gory thx .





[/quote]

[nimdil]

Na oko widać, bo dodawanie wykonuje się na macierzach identycznych rozmiarów a X musimy móc przerzucić na drugą stronę. Więc musi być pionowo \(\displaystyle{ [x_1,x_2]}\). Dale to łatwe - bo mnożysz macierz razy wektor i otrzymujesz wektor i otrzymujesz 2 równania z działania na komórkach.

Macierz odwrotna (metoda): za pomocą podstawowych operacji na wierszach przeprowadzasz macierz daną do postaci macierzy identyczności (1 na przekątnej, reszta zera) a potem w tej samej kolejności wykonujesz operacje na macierzy identycznościowej i to co z niej wyjdzie to macierz odwrotna. Najlepiej napisac obie macierze obok siebie i robic operacje jednoczesnie.