wartości i wektory własne macierzy

[Hatcher]

Zad.
Dla poniższej macierzy wyznacz jej wartości własne wraz z ich krotnościami algebraicznymi i geometrycznymi oraz wektory własne im odpowiadające.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\-6&1&-6\\-3&-1&-1\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ W(\lambda)= det(A- \lambda \mathcal{I})= \left[\begin{array}{ccc}2-\lambda&1&0\\-6&1-\lambda&-6\\-3&-1&-1-\lambda\end{array}\right]=...=-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2=-(1-\lambda)(1+\lambda)(2-\lambda)}\)

Liczymy wektory własne dla \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\), której krotność algebraiczną wynosi 1.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\-6&0&-6\\-3&-1&-2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\-6&0&-6\\-3&-1&-2\end{array}\right| \neq 0}\)
A więc jedynym rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe.
\(\displaystyle{ x=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Ale nie wiem co to jest krotność geometryczna?

Bardzo proszę o pomoc, i sprawdzenie mojego rozwiązania.

[Qń]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\-6&0&-6\\-3&-1&-2\end{array}\right| \neq 0}\)

Zastanów się - przed chwilą znalazłeś takie \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ \det (A-\lambda I) = 0}\). Teraz wstawiasz to \(\displaystyle{ \lambda}\) do macierzy \(\displaystyle{ A-\lambda I}\), więc oczywistą oczywistością jest, że wyznacznik tej macierzy musi być równy zero.

Q.

[Hatcher]

No to prawda, źle policzyłem wyznacznik, ale rząd tej macierzy wynosi 2.
Więc wybieramy nieosobliwy minor wymiaru 2x2

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6\cdot x_1+0 \cdot x_2=6 \cdot x_3 \\ -3 \cdot x_1 -1 \cdot x_2=2 \cdot x_3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_1=- x_3 \\ - x_2=2 \cdot x_3 +3 \cdot x_1 \end{cases} \iff
\begin{cases} x_1=- x_3 \\ x_2=-x_3 \end{cases}}\)

Czyli wektor własne dla tej wartości własnej wynosi :
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{ccc}-x_3\\-x_3\\x_3\end{array}\right]=-x_3\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\-1\end{array}\right]}\)
Czyli przykładowym wektorem jest: \(\displaystyle{ X= \left[\begin{array}{ccc}1\\1\\-1\end{array}\right]}\)

A w odpowiedziach mam:\(\displaystyle{ [-1,1,1]}\)

Czym jest krotność geometryczna ?

[Smażony Ogórek]

W odpowiedziach masz wektor pomnozony przez stałą równą \(\displaystyle{ -1}\) , więc wszystko jest ok.
Krotność geometryczna to ilość wektorów własnych liniowo niezależnych uzyskanych z jednej wartości własnej. Krotność geometryczna jest zawsze mniejsza, bądź równa krotności arytmetycznej.

[Qń]

W obliczeniach jest błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=- x_3 \\ - x_2=2 \cdot x_3 +3 \cdot x_1 \end{cases} \iff \begin{cases} x_1=- x_3 \\ x_2= x_3 \end{cases}}\)
i teraz istotnie zgodzi się z odpowiedzią z zewnątrz.

Q.

[Hatcher]

a bardziej prościej, to jak mam to rozpoznać, jaka jest krotność geometryczna? na przykład dla tej wartości własnej ?