Iloczyn wektorowy i symbol Leviego-Civity

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

Iloczyn wektorowy i symbol Leviego-Civity

Post autor: Kris-0 »

Bez wdawania się w współrzędne ko- i kontrawariantne:
Iloczyn skalarny można zapisać jako \(\displaystyle{ \vec A\circ\vec B= A_iB_j\delta_{ij}}\),
Iloczyn wektorowy natomiast jako \(\displaystyle{ \vec A\times \vec B=\epsilon_{ijk}\hat{e}_iA_jB_k}\).
Dla odróżnienia, tylko \(\displaystyle{ \circ}\) będę używał dla znaku mnożenia skalarnego.

Jak teraz obliczyć kwadrat iloczynu wektorowego bazując na takiej notacji albo potrójny iloczyn wektorowy?
shvedeq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 372
Rejestracja: 12 kwie 2010, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 25 razy

Iloczyn wektorowy i symbol Leviego-Civity

Post autor: shvedeq »

kwadrat iloczynu wektorowego, jak dla każdego wektora to il. skalarny wektora ze sobą, a więc musisz policzyć coś takiego:
\(\displaystyle{ <\vec{A} \times \vec{B}|\vec{A} \times \vec{B}>=\delta_{i j} (\vec{A} \times \vec{B})_{i} (\vec{A} \times \vec{B})_{j}=(\vec{A} \times \vec{B})_{j} (\vec{A} \times \vec{B})_{j}=(\varepsilon_{jkl}A_{k} B_{l}) (\varepsilon_{jmn} A_{m} B_{n})=\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{jmn}A_k A_m B_l B_n}\)
korzystając z równości:
\(\displaystyle{ \varepsilon_{jkl} \varepsilon _{jmn}=\delta_{km} \delta_{ln} - \delta_{kn} \delta_{lm}}\)
ostatni napis możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ \delta_{km} \delta_{ln} A_k A_m B_l B_n - \delta_{kn} \delta_{lm} A_k A_m B_l B_n =A_m A_m B_n B_n - A_n A_l B_l B_n= <A|A> <B|B> - <A|B> <A|B>}\)
gdzie \(\displaystyle{ <A|B>}\) jest il. skalarnym. Mam nadzieję, że potrafisz sumawać z deltami kroneckera.

Natomiast potrójny il. wektorowy idzie tak (policzę j-tą współrzędną):
\(\displaystyle{ (\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}))_{j}=\varepsilon_{jkl}A_k (\vec{B} \times \vec{C})_{l}=\varepsilon_{jkl} A_k (\varepsilon_{lmn} B_m C_n)=\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{lmn} A_k B_m C_n=(\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km})A_k B_m C_n=A_n B_j C_n - A_m B_m C_j=<A|C> B_j - <A|B> C_j}\)
Cyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})=<A|C> \vec{B} - <A|B> \vec{C}}\)

Od siebie dodam, że ta notacja jest bardzo wygodna (przynajmniej dla mnie)
ODPOWIEDZ