4 zadania z algebry

[vomit]

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takich zadanek:

1. Niech \(\displaystyle{ f : X \mapsto Y}\) oraz niech \(\displaystyle{ C,D X}\). Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ f(C\cap D) =
f(C) \cap f(D)}\)oraz\(\displaystyle{ f(C \cup D) = f(C) \cup f(D)}\)? Podaj dowód lub kontrprzykład.

2. Zaproponuj bijekcje pomiędzy zbiorami:
a)\(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ Z}\)
b)\(\displaystyle{ Z}\)i \(\displaystyle{ Q}\)
c)A= {0, 1}^N i P(N)

3. Niech A = {1, . . . , n} oraz niech\(\displaystyle{ f : A \mapsto A}\). Wykaż, że następujące
warunki sa równoważne:
a) f jest iniekcją
b) f jest suriekcją
c) f jest bijekcją

4. Uzasadnij, że funkcją\(\displaystyle{ f : N^2 \mapsto N}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ f(a, b) = (a + b + 1)(a + b) + a}\)
jest iniekcją.

z góry dzięki za pomoc. pozdrawiam

[el payaco]

\(\displaystyle{ 1.\ \ Niech\ y\in Y \\ y\in f(C\cup D) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exist (z \in C \cup D)[y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exist z [z \in C\cup D \wedge y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exist z[(z \in C \vee z \in D)\wedge y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exist z [(z \in C \wedge y=f(z)) \vee (z \in D \wedge y=f(z))] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exist (z) z \in C \wedge y=f(z)) \vee (\exist (z) z \in D \wedge y=f(z)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y \in f(C) \vee y \in f(D) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y \in f(C) \cup f(D)}\)
Natomiast w \(\displaystyle{ f(C\cap D)=f(C) \cap f(D)}\) Prawdziwe jest tylko takie zawieranie:
\(\displaystyle{ f(C\cap D)\subseteq f(C) \cap f(D)}\) co w razie potrzeby mogę udowodnić

wlaświe wpadłem na pomyśł kontrprzykładu:
\(\displaystyle{ f(C\cap D)=f(C) \cap f(D)}\)
\(\displaystyle{ A1=(-\infty ;0)\ \ \ A2=(0;\infty) \\ \forall (a \in A1,A2) f(a)=1 \\ A1\cap A2=\phi \Rightarrow f[A1\cap A2]=\phi \ \ \ \ f[A1] \cap f[A2]=\{1\}}\). Stąd: \(\displaystyle{ f(C\cap D)\ne f(C) \cap f(D)}\)

\(\displaystyle{ 2.\ \ f:N->Z \\ f(x)=\left{\begin{array}{l}\frac{x}{2}\ dla\ x\ parzystych\\0\ dla\ x=0\\-(\frac{x+1}{2})\ dla\ x\ nieparzystych\end{array}}\)

ps. temat zmieniłbym na: "Wstęp do matematyki" lub na "Podstawy logiki i teori mnogości"